4 Лекция

4.5 Техника определения перемещений

 

а) Перемещения, вызываемые внешними силовыми воздействиями

В этом случае формула для перемещений имеет вид:

  

В стержневых системах, элементы которых работают преимущественно на изгиб, последние два слагаемых этой формулы малы (в среднем около 3% полного перемещения). Поэтому на практике при определении перемещений в балках, рамах и иногда в арках пользуются приближенной формулой:

(4.17)

В общем случае перемножение выражений для изгибающих моментов с последующим интегрированием довольно трудоемкая операция. Она была существенно упрощена студентом Московского института инженеров железнодорожного транспорта А.К.Верещагиным в 1925 году (заменена перемножением грузовой и единичной эпюр):

(4.18)

              

Если в стержнях системы (например фермы), возможны только продольные усилия, то перемещения, вызываемые внешней нагрузкой:

(4.19)

В тех случаях, когда жесткости и продольные усилия не изменяются по длине стержней:

(4.20)

б) Перемещения, вызываемые изменениями температуры

Если перемещения происходят только вследствие изменения температуры, то:

(4.21)

Если допустить, что в сечении стержня, разность температур крайних волокон t'=|t₁−t₂| и коэффициент линейного расширения материала по длине участка одинаковы, то эту формулу можно переписать:

 

где −    площадь эпюры моментов на "k"-ом силовом участке от единичного воздействия;   − тоже для продольных сил.

Первое слагаемое принимается положительным, если при воздействии температуры t’ и действии момента  стержень искривляется в одну и ту же сторону. Второе слагаемое положительно, если при воздействии температуры t_ср и продольной силы  деформации стержня одного и того же знака.

В шарнирно-стержневых системах (фермах) перемещение, вызываемое изменением температуры:

 

в) Перемещения, вызываемые смещением опор

В формуле (4.22) влияние смещения опор учитывается последним слагаемым:

(4.23)

Произведение будем считать положительным, если направление реакции при единичном воздействии совпадает с направлением исходного смещения опоры.

4 Лекция

4.6 Методика определения перемещений в статически определимых стержневых системах

 

Таблица 4.1 – Порядок определения перемещений в статически определимых системах

В системах, элементы которых работают на изгиб (балках, рамах)	В шарнирно-стержневых системах (фермах)
Кинематический анализ
Построение эпюры изгибающих моментов от заданного внешнего воздействия	Определение продольных усилий в каждом из стержней от заданной внешней нагрузки
В направлении искомого перемещения прикладывается единичное воздействие (рисунок 4.11)
Построение эпюры изгибающих моментов от единичного воздействия	Определение продольных усилий в каждом из стержней от единичного воздействия
Перемножение эпюр изгибающих моментов от внешнего и единичного воздействия	Определение алгебраической суммы произведений продольных усилий в каждом из стержней от внешнего и единичного воздействия
В результате − искомое перемещение

 

Пример определения перемещения в шарнирно-стержневой системе

Для заданной фермы требуется определить вертикальное перемещение узла 4. Площадь поперечных сечений стоек равна «1.5А», а площадь поперечных сечений остальных элементов фермы равна «А». Все стержни из одного материала (Е=const).

Начинать следует с кинематического анализа. Далее в направлении искомого перемещения прикладываем единичную силу и определяем усилия во всех стержнях от внешней и единичной нагрузки. Все расчеты будем вести в таблице 4.2.

Рисунок 4.12 – Расчетная схема фермы

Рисунок 4.13 – Определение опорных реакций

     

 

Таблица 4.2 – Результаты расчета фермы

Наименование стержня	li,м	Аi	Nрi, кН	Ni	(Ni ×Nрi ×li/(ЕiАi)
1-2	3	1.5Д	−20	−0.5	20 / ЕА
1-4	4	А	0	0	0
2-3	4	А	−13.33	−0.67	35.57 / ЕА
2-4	5	А	16.67	0.83	69.42 / ЕА
3-4	3	1.5А	-го	0	0
3-6	4	А	−13.33	−0.67	35.57 / ЕА
4-6	5	А	16.67	0.83	69.42 / ЕА
5-6	3	1.5А	−20	−0.5	20 / ЕА
4-5	4	А	0	0	0
	−	−	−	−	249.98 / ЕА