- •Множества и действия над ними.
- •Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
- •Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
- •Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
- •Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
- •Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
- •Число e.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках.
- •Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
- •Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
- •Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности.
- •Критерий Коши существования предела функции.
- •Локальные свойства функций имеющих предел.
- •Теорема о пределе суперпозиции.
- •Односторонние пределы.
- •Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •Замечательные пределы
- •Асимптоты графика функции
- •Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела.
- •Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры
- •Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях.
- •Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции к непрерывной и строго монотонной функции.
- •Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.
- •Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.
- •Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
- •Дифференцирование сложной функции.
- •Дифференцирование обратной функции.
- •Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных.
- •Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Формула Тейлора для многочлена.
- •Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
- •Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
- •Правило Лопиталя.
- •Условия монотонности функции.
- •Условия экстремума функции.
- •Условия выпуклости функции.
- •Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция является выпуклой. Выберем произвольно , , и покажем, что (9)
- •Точки перегиба графика функции.
- •Множество вещественных чисел (натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, модуль (абсолютная величина вещественного числа) и его свойства.
- •Комплексные числа.
Односторонние пределы.
Определение 1. Пусть - точка сгущения множества . Если такое, что , удовлетворяющего неравенствам имеет место неравенство .то число называется левосторонним пределом функции в точке или также пределом функции в точке слева.
Определение 2. Пусть - точка сгущения множества . Если такое, что , удовлетворяющего неравенствам имеет место неравенство . то число называется правосторонним пределом функции в точке , или также пределом функции в точке справа.
Теорема 1. Пусть , и – точка сгущения каждого из множеств и . Тогда, если существуют равные между собой односторонние пределы и , то существует и равный им двусторонний предел = = .
Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Определение 1. Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если .
Замечание 1. Очевидно, что если , то , (т.е. - б. м. последовательность) при этом . Наоборот, если имеет место это равенство и - б. м. последовательность, то . Таким образом, последовательность имеет предел тогда и только тогда, когда она равна сумме постоянной и бесконечно малой последовательностей.
Теорема 1. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.
Определение 2. Если для любого вещественного числа E N: xn > E n > N (соотв., xn < E n > N ), то говорят, что последовательность имеет своим пределом , и пишут или .
Определение 3. Последовательность такую, что , называют бесконечно большой и пишут (символ употребляется без знака).
Теорема 2. Если последовательность - бесконечно большая и то бесконечно малая последовательность.
Теорема 3. Если - бесконечно малая последовательность и при n = 1,2,…, то последовательность -бесконечно большая.
Замечание 2. Последовательности имеющие своим пределом + или - мы не относим к сходящимся, то есть они считаются расходящимися. Таким образом, можно сказать, что сходящиеся последовательности – это такие последовательности, которые имеют конечный предел.
Замечание 3. Последовательности, имеющие пределы + или -, очевидно, являются бесконечно большими. Однако не всякая бесконечно большая последовательность имеет предел равный + или -. Например, последовательность очевидно является бесконечно большой ( ), но она не имеет ни конечного, ни какого-то бесконечного () предела.
Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
Пусть функции и определены на множестве и – точка сгущения множества . Пусть также в некоторой проколотой окрестности точки функция отлична от нуля (точнее, ). Там где это ниже необходимо по смыслу, будем также считать, что в той же проколотой окрестности отлична от нуля и функция .
Определение 1. Если ,то говорят, что функция есть о-малое от функции при , и пишут при . 2. Если функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки , т.е. если она ограничена на множестве , то говорят, что функция есть о-большое от функции при , и пишут при . Говорят, что функции и асимптотически равны при , если .Если бесконечно малые(большие) при функции и асимптотически равны, то говорят, что они эквивалентны при , при этом пишут ~ ( ).Если бесконечно большие при функции и асимптотически равны при , то говорят, что они эквивалентны при .
Теорема: Пусть и – бесконечно малые(большие) при функции, причем ~ , а ~ при . Тогда если ,то и .