- •Множества и действия над ними.
- •Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
- •Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
- •Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
- •Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
- •Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
- •Число e.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках.
- •Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
- •Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
- •Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности.
- •Критерий Коши существования предела функции.
- •Локальные свойства функций имеющих предел.
- •Теорема о пределе суперпозиции.
- •Односторонние пределы.
- •Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •Замечательные пределы
- •Асимптоты графика функции
- •Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела.
- •Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры
- •Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях.
- •Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции к непрерывной и строго монотонной функции.
- •Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.
- •Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.
- •Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
- •Дифференцирование сложной функции.
- •Дифференцирование обратной функции.
- •Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных.
- •Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Формула Тейлора для многочлена.
- •Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
- •Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
- •Правило Лопиталя.
- •Условия монотонности функции.
- •Условия экстремума функции.
- •Условия выпуклости функции.
- •Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция является выпуклой. Выберем произвольно , , и покажем, что (9)
- •Точки перегиба графика функции.
- •Множество вещественных чисел (натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, модуль (абсолютная величина вещественного числа) и его свойства.
- •Комплексные числа.
Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
Число (точка) называется пределом последовательности , если для любого существует такой номер , что для всех натуральных имеет место неравенство .
(Обозначение: , или (а также при ))
Краткое, символическое определение:
Геометрическая форма определения предела последовательности:
Интервал = называется -окрестностью точки .
Так как
То
Наконец, определение предела числовой последовательности может быть сформулировано следующим образом: Число (точка) называется пределом последовательности , если все ее члены, начиная с некоторого номера, принадлежат любой наперед заданной окрестности точки .
Если числовая последовательность имеет предел, то говорят, что она сходится и называют ее сходящейся. В противном случае, т.е. если она не имеет предела, говорят, что она расходится и называют ее расходящейся.
(Очевидно, что если последовательность сходится (расходится), то сходящейся (расходящейся) будет и последовательность полученная из нее добавлением или исключением из нее конечного числа членов, при этом в случае сходимости исходной последовательности новая последовательность, будет иметь тот же предел, что и исходная. )
Единственность предела.
Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Числовая последовательность называется
А) ограниченной, если :
Б) ограниченной сверху, если :
В) ограниченной снизу, если
Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
(Утверждение обратное к утверждению последней теоремы, вообще говоря, неверно.)
Пример 1. Рассмотрим последовательность такую, что , . Эта последовательность представляет собой чередующиеся числа :
.
Очевидно, она ограничена
Но если , то каково бы ни было числа одновременно не могут принадлежать -окрестности , так как расстояние между точками и равно
и при меньше двух, а расстояние между двумя соседними точками рассматриваемой последовательности равно двум и следовательно они одновременно не могут принадлежать такой -окрестности любой точки .
Пример (стационарные последовательности). Последовательность называется стационарной , если все ее члены за исключением быть может конечного их числа равны одному и тому же вещественному числу , т.е. если такое, что .
Очевидно, всякая стационарная последовательность сходится и ее предел равен тому числу , которому равны все ее члены за исключением конечного их числа.
Очевидно, для любого вещественного числа существует единственное целое число такое, что
.
Оно называется целой частью числа и обычно обозначается .
Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
Суммой, разностью, произведением и частным последовательностей и называются, соответственно, следующие последовательности: , , и , при этом, говоря о последней из них, предполагается, что для любого .
Теорема 1. ⊐ последовательности и сходятся.
Тогда сходятся и последовательности (c- const), , и – последняя при условии и , – при этом
а) ,
б) (теорема о пределе суммы и разности)
в) (теорема о пределе произведения)
г) (теорема о пределе частного)