- •Множества и действия над ними.
- •Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
- •Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
- •Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
- •Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
- •Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
- •Число e.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках.
- •Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
- •Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
- •Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности.
- •Критерий Коши существования предела функции.
- •Локальные свойства функций имеющих предел.
- •Теорема о пределе суперпозиции.
- •Односторонние пределы.
- •Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •Замечательные пределы
- •Асимптоты графика функции
- •Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела.
- •Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры
- •Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях.
- •Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции к непрерывной и строго монотонной функции.
- •Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.
- •Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.
- •Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
- •Дифференцирование сложной функции.
- •Дифференцирование обратной функции.
- •Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных.
- •Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Формула Тейлора для многочлена.
- •Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
- •Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
- •Правило Лопиталя.
- •Условия монотонности функции.
- •Условия экстремума функции.
- •Условия выпуклости функции.
- •Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция является выпуклой. Выберем произвольно , , и покажем, что (9)
- •Точки перегиба графика функции.
- •Множество вещественных чисел (натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, модуль (абсолютная величина вещественного числа) и его свойства.
- •Комплексные числа.
Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях.
Теорема 1 (первая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена на этом отрезке.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Тога для любого натурального найдется такая точка , что (1). Так как последовательность ограничена ( ), то по теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность . Пусть при .
Очевидно, что (для того, чтобы убедиться в этом достаточно в неравенствах перейти к пределу при ). Поэтому в силу непрерывности функции на отрезке . Следовательно, последовательность ограничена, что, противоречит тому, что согласно (1) □
Пусть функция определена на множестве . Далее полагаем и .
Теорема 2 (вторая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих точных верхней и нижней граней, т.е. существуют такие точки ,что , .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, например, утверждение теоремы относительно точной верхней грани. Доказательство проведем от противного. А именно, положим и предположим, что . Тогда, очевидно, функция будет непрерывной на отрезке . Поэтому по теореме 1 она будет ограниченной на этом отрезке. В частности, найдется такое , что . Следовательно , а это противоречит тому, что □
Замечание 1. Теорема 2 по сути гласит, что во множестве значений непрерывной на отрезке функции имеется наибольший и наименьший элементы. Они, соответственно, называются наибольшим и наименьшим значениями функции, при этом точки и , в которых функция принимает эти значения, называются, соответственно точкой максимума и точкой минимума функции на отрезке . Теорему 2, таким образом, можно рассматривать как теорему о существовании точек максимума и минимума непрерывной на отрезке функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке обычно обозначаются символами и
Из второй теоремы Вейерштрасса с учетом следствия из второй теоремы Больцано-Коши, вытекает такое Следствие. Множество значений непрерывной на отрезке функции является отрезком , где , .
Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции к непрерывной и строго монотонной функции.
Теорема 3 (критерий непрерывности монотонной функции). Для того, чтобы монотонная на отрезке функция была непрерывной на нем, необходимо и достаточно, чтобы множество ее значений было отрезком.
Теорема 4 (об обратной функции к непрерывной, строго монотонной). Пусть функция непрерывна и строго монотонна на отрезке . Тогда существует обратная к ней функция , которая является непрерывной и строго монотонной в том же смысле, что и функция .
Следствие. Пусть функция непрерывна и строго монотонна на произвольном промежутке . Тогда обратная к ней функция непрерывна и строго монотонна в том же смысле на промежутке .
Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.
n°1. Понятие производной.
Пусть и . Точка называется внутренней точкой множества , если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью, т.е. существует такая окрестность точки , что .
Пусть теперь функция определена на множестве и - внутренняя точка множества . Тогда существует такая окрестность точки , что и, следовательно, функция определена на множестве и – точка сгущения этого множества. Таким образом, корректно следующее Определение 1. Если существует предел , то он называется производной функции в точке .
Производная функции ( ) в точке обозначается одним из последующих символов: , , , , при этом если ясно, в какой точке рассматривается производная, то для ее обозначения используют символы: , , , .Таким образом, (1)
Замечание 1. Если положить , , то теорема о пределе суперпозиции позволяет также определить производную с помощью любого из равенств: (2), (3).
Величины и называют, соответственно, приращением аргумента и приращением функции в точке . В соответствии с равенством (3), можно сказать, что производная равна пределу отношения приращения функции (в точке ) к приращению аргумента.
Замечание 2. Определение производной выше было дано в предположении, что точка - внутренняя точка области определения функции . Если же точка не является внутренней точкой множества , но принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей односторонней окрестностью , или , то можно ввести понятие односторонней производной: (правая производная), (левая производная).
Замечание 3. В определении производной не требуется, чтобы предел (1) был конечным. Если предел (1) равен или , то производная называется бесконечной.
Теорема 1. Пусть функция определена в окрестности точки и имеет в этой точке конечную производную. Тогда она непрерывна в этой точке.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что □
n°2. Геометрический смысл производной. Производная функции в точке – тангенс угла наклона касательной к графику этой функции в точке (подробнее на лекции и в учебниках).
n°3. Физический смысл производной Значение производной в точке численно равно мнгновенной скорости изменения функции
Уравнение касательной к графику функции в данной точке.
Определение. Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x0 имеет конечную производную f(x0). Тогда прямая, проходящая через точку (x0; f(x0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x0), называется касательной. А что будет, если производная в точке x0 не существует? Возможны два варианта: Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = |x| в точке (0; 0). Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π/2).
Уравнение касательной. Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x0, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.
Итак, пусть дана функция y = f(x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением: y = f ’(x0) · (x − x0) + f(x0). Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f(x0) — значение самой функции.