30. Изоморфизм линейных пространств. Переход к новому базису.

Линейные пространства L₁и L₂называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, такое, что x₁x₂, y₁y₂, где x₁,y₁ L₁, x₂,y₂ L₂, то сумма x₁+y₁x₂+y₂, а αx₁αx₂при любом α числе.

Если даны координаты базиса и координаты вектора, то:

1. Выписываем матрицу из базиса

2. Находим обратную матрицу

3. Умножаем обратную матрицу на координаты вектора

31. Понятие евклидова пространства.

Пусть Lлинейное пространство, и задано правило, по которому каждому элементу х,у L, ставится в соответствие число (х,у), называемое скалярным произведением. Это правило удовлетворяет аксиомам скалярного произведения:

1. (х,у)=(у,х)

2. (х₁+х₂,у)=(х₁,у)+(х₂,у)

3. (λх,у)=λ(х,у)

4. (х,х) 0

n мерное линейное пространство L с введенной на нем скалярным произведение называется nмерным Евклидовым пространством.

Длиной |x| называется число, равное

Угол между векторами х и у cos(x,y)=

Векторы х и у ортогональны когда (х,у)=0

Если векторы х и у ортогональны, то вектор х+у естественно считать диагональю прямоугольника со сторонами х и у

32. Евклидово пространство Rn.Аффинная и прямоугольная системы координат в Rn.

Рассмотрим Rⁿ: х=(х₁,х₂,…,х_n)

у=(у₁,у₂,…,у_n)

(х,у)=х₁у₁+…+х_ny_n

Все аксиомы скалярного произведения выполняются.

Неравенство Каши-Буняковского:

(х₁у₁+х₂у₂+…+х_ny_n)²

Неравенство Минковского:

Совокупность с произвольной точкой О и базисом е₁,е₂,…,е_n называется аффинной системой координат.

Точка О начало координат. Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются базисными векторами.

Если х=х₁е₁+х₂е₂+…+х_ne_n, то координаты вектора х в заданной системе координат х=(х₁,х₂,…,х_n).

Аффинная система координат называется прямоугольной, если ее базис ортонормированный, т.е. е_iперпендикулярно е_ji j, i,j=1,2,…,n

|e_i|=1, i=1,2,…,n

33. Отрезок в Rn

х, упроизвольные векторы из Rⁿ.Точки Евклидового пространства.

z=λx+μy, λ 0, μ 0, λ+μ=1

z=(1-μ)x+μy=x+μ(y-x) (2)

z=λx+(1-λ)y=y+λ (x-y) (2`)

(2) R³:

z=x+μ(y-x)

B C

y-x=BC

μ(y-x) BCконец радиус-вектора zлежит на отрезке BC

Если μ=0, то z=x, если μ=1, то z=y.

Таким образом в Rⁿмножество точек (2) определяет отрезок, соединяющий точки х и у.

Отрезком [x,y], соединяющий точки х и у называется множество точек вида (2)

Точка z=λx+μy, λ 0, μ 0, λ+μ=1, делит отрезок, соединяющий точки х и у на отрезки с длинами, находящиеся в отношении μ:λ

Расстояние между точками х=(х₁,х₂,…,х_n) и у=(y₁,y₂,…,y_n):

|x-y|=

34. Плоскость в Rn

Геометрическое место точек вектора х=(х₁,х₂,…,х_n), удовлетворяющее уравнению А₁х₁+А₂х₂+…+А_nx_n=0 называется плоскостью.

Для n=3. А₁х₁+А₂х₂+A₃x₃+B=0 – общее уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости можно переписать в виде (А,х)+В=0

A`=AM, M-любое число M 0, B`=BM.

A`=(A₁M,A₂M,…,A_nM)

(A`,x)+B=0

M=

A`=(MA₁,MA₂,…,MA_n)=(υ₁,υ₂,…,υ_n)=υ

Нормальное уравнение плоскости: υ₁х₁+υ₂х₂+…+υ_nх_n-p=0

Нормальное уравнение плоскости в векторной форме (υ,х)=р

Уравнение плоскости, проходящей через nточек:

|x₁-x¹₁x₂-x¹₂… x_n-x¹_n|

|x²₁-x¹₁x²₂-x¹₂ … x²_n-xⁿ_n|=0

|………………………….|

|xⁿ₁-x¹₁ xⁿ₂-x¹₂ … xⁿ_n-xⁿ_n|

Угол между плоскостями, и формула параллельных плоскостей, формула перпендикулярных плоскостей, формула совпадения плоскостей такие же как и в пространстве R³

A₁(x₁-x₁⁰)+A₂(x₂-x₂⁰)+…+ A_n(x_n-x_n⁰)=0 – уравнение плоскости проходящей через точку х⁰.

d=|(ρ⁰,υ)-p|