26. Прямолинейные образующие поверхностей 2-го порядка.

Пусть Sповерхность второго порядка. Прямая Lназывается прямолинейной образующей поверхности S, если LсS

Через каждую точку однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида проходят 2 различные прямые, целиком располагающиеся на указанных поверхностях. Таким образом гиперболический параболоид и однополостный гиперболоид покрыты 2 различными семействами прямолинейных образующих.

- однополостный гиперболоид

Переносим zвыделяем квадраты

Утверждения:

1. Через любую точку однополостного гиперболоида проходит одна и только одна прямолинейная образующая каждого семейства

2. Любые 2 образующие однополостного гиперболоида из разных семейств лежат в одной плоскости

3. Любые 2 несовпадающие образующие одного семейства скрещиваются

4. Никакие 3 попарно различные образующие одного семейства не параллельны никакой плоскости

- гиперболический параболоид

Выделяем квадраты

Утверждения:

1. Через любую точку гиперболического параболоида проходит одна и только одна прямолинейная образующая каждого семейства

2. Любые 2 образующие из разных семейств лежат в одной плоскости

3. Любые 2 несовпадающие образующие одного семейства скрещиваются

4. Все образующие одного семейства параллельны одной плоскости

27. Классификация поверхностей 2-го порядка.

a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+2a₁₃xz+2a₂₃yz+a₃₃z²+2a₁x+2a₂y+2a₃z+a₀=0

-определитель расширенной матрицы

-определитель обычной матрицы

τ₁=a₁₁+ a₂₂+ a₃₃

τ₂=|a₁₁a₁₂| + |a₁₁a₁₃| + |a₂₂a₂₃|

|a₂₁ a₂₂| + |a₃₁ a₃₃| + |a₃₂ a₃₃|

K₁=|a₁₁a₁| + |a₂₂ a₂| + |a₃₃ a₃|

|a₁ a₀| + |a₂ a₀| + |a₃ a₀|

K₂=|a₁₁a₁₂a₁| + |a₁₁a₁₃a₁|+ |a₂₂ a₂₃a₂|

|a₂₁a₂₂ a₂| + |a₃₁a₃₃a₃|+ |a₃₂ a₃₃a₃|

|a₁a₂ a₀| + |a₁a₃a₀|+ |a₂ a₃ a₀|

Центральная поверхность (δ 0)

1. Эллиптический тип (τ₂>0, τ₁δ>0)

А) <0 эллипсоид

В) >0 мнимый эллипсоид

С) =0 мнимый конус

2. Гиперболический тип (τ₂ 0, τ₂δ 0)

А) <0 двуполостный гиперболоид

В) >0 однополостный гиперболоид

С) =0 конус

Нецентральная поверхность(δ 0)

Параболический тип

1. <0 эллиптический параболоид

2. >0 гиперболический параболоид

3. =0:

А) τ₂>0

- τ₁K₂<0 эллиптический цилиндр

- τ₁K₂>0 мнимый эллиптический цилиндр

- K₂=0 пара мнимых пересекающихся плоскостей

В) τ₂<0

- K₂ 0 гиперболический цилиндр

- K₂=0 пара пересекающихся плоскостей

С) τ₂=0

- K₂ 0 параболический цилиндр

- K₂=0:

* K₁<0 пара параллельных плоскостей

* K₁>0 пара мнимых параллельных плоскостей

* K₁=0 пара совпадающих плоскостей

28. Понятие о линейном пространстве.

Множество Lназывают линейным пространством, если:

1. Задан закон (операция сложения) по которому 2 элементам х и у из L сопоставлен элемент zиз множества L, называемый их суммой, и обозначаемый х+у

2. Задан закон (операция умножения на число) по которому любому элементу х из множества Lи любому числу αсопоставляется элемент из множества L, называемый произведением хнаα и обозначаемый αх

3. Для любых элементов x, y, zиз множества L и любых чисел α и βвыполнены следующие соотношения (аксиомы линейного пространства):

1. (x+y)+z=x+(y+z)

2. x+y =y+x

3. x+0=0+x=x

4. для xсуществует –xтакое что, x+(-x)=0

5. α(βx)=(αβ)x

6. 1*x=x

7. α(x+y)=αx+αy

8. (α+β)x=αx+βx

29. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Размерность линейного пространства.

Линейная комбинация нескольких векторов называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны 0.

Линейная комбинация нескольких векторов называется нетривиальной, если хотя бы один изее коэффициент не равен 0.

Векторы x₁,x₂…,x_k называются линейно-зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. Т.е. существуют числа α₁…α_к, такие что , что

Векторы x₁,x₂…,x_k называются линейно-независимыми, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору. Т.е. из соотношения  =0

Линейное пространство Lназывается nмерным, если в поле имеется nлинейно-независимых векторов