19. Поверхневі інтеграли другого роду. Зв'язок між поверхневими інтегралами і і II роду.

Поверхневий інтеграл II роду будується за зразком криволінійного інтеграла II роду, де направлену криву розкладали на елементи і спроектували їх на координатні осі; знак брали залежно від того, чи співпадає її напрям з напрямом осі чи ні.

Нехай задана двостороння поверхня (такою є площина, еліпсоїд, будь-яка поверхня, що задається рівнянням , де — функції, неперервні в деякій області D площини Оху і т.д.). Після обходу такої поверхні, не перетинаючи її межі, напрям нормалі до неї не міняється. Прикладом односторонньої поверхні є так званий лист Мюбіуса, отриманий при склеюванні сторін АВ і СD прямокутника АВСD так, що точка А поєднується з точкою С, а В — з D (див. рис. 19).

Рис. 19.

Рис. 20,а. Рис.20,б.

Далі нехай в точках даної двосторонньої поверхні S в просторі Охуz визначена

неперервна функція . Вибрану сторону поверхні S (у такому разі говорять, що поверхня орієнтована) розбиваємо на частини S_і, де

i = 1,2..., n, і проектуємо їх на координатні площини. При цьому площу проекції беремо із знаком «плюс», якщо вибрана верхня сторона поверхні, або, що те ж саме, якщо нормаль до вибраної сторони поверхні складає з віссю Оz гострий кут (див. рис. 20,а) тобто ; із знаком мінус», якщо вибрана нижня сторона поверхні (або ) (див. рис. 20,б). В цьому випадку інтегрована сума має вигляд: (4.1)

де - площа проекції S_і площина Оху. Її відмінність від інтегральної суми (3.1) очевидно.

Границя інтегральної суми (4.1) при якщо вона існує і не залежить від способу розбиття поверхні S на частини S_і і від вибору точок М_і є S_і, то вона називається поверхневим інтегралом II роду (по координатах) від функції f(х;у;z ) по змінних х і у по вибраній стороні поверхні і позначається:

Отже

Аналогічно визначаються поверхневі інтеграли II роду по змінних у і z, z і x:

Загальним видом поверхневого інтеграла II роду служить інтеграл:

,

де — неперервні функції, визначені в точках двосторонньої поверхні S:

Якщо S замкнута поверхня, то поверхневий інтеграл по зовнішній стороні позначається по внутрішній

З визначення поверхневого інтеграла II роду витікають наступні його властивості:

1. Поверхневий інтеграл II роду змінює знак при зміні сторони поверхні.

2. Постійний множник можна виносити за знак поверхневого інтеграла.

3. Поверхневий інтеграл від суми функцій рівний сумі відповідних інтегралів від доданків.

4. Поверхневий інтеграл II роду по всій поверхні S= S₁+ S₂ рівний сумі інтегралів по її частинах S₁ і S₂ (аддитивна властивість), якщо S₁ і S₂ і перетинаються лише по межі, їх розділяючій.

5. Якщо S₁, S_2, S₃ — циліндричні поверхні із твірними, паралельними відповідно осям Ох, Оу, Оz, то:

Обчислення поверхневого інтеграла II роду

Обчислення поверхневого інтеграла II роду зводиться до обчислення подвійного інтеграла.