- •Обчислення потрійного інтеграла.
- •Потрійний інтеграл у циліндричних і сферичних координатах.
- •Застосування потрійного інтеграла до задач геометрії.
- •Застосування потрійного інтеграла до задач механіки і фізики.
- •Криволінійні інтеграли першого роду: означення, його існування, обчислення, властивості.
- •Застосування криволінійного інтеграла першого роду: Маса матеріальної кривої, центр маси, момент інерції.
- •Криволінійні інтеграли першого роду для просторових кривих.
- •Криволінійні інтеграли другого роду: означення, його існування, обчислення, властивості.
- •Криволінійні інтеграли другого роду вздовж просторових кривих.
- •Формула Гріна. Обчислення площі плоскої фігури через криволінійний інтеграл.
- •Поверхневі інтеграли першого роду: означення, обчислення.
- •Деякі застосування поверхневих інтегралів до механіки.
- •Поверхневі інтеграли другого роду. Зв'язок між поверхневими інтегралами і і II роду.
- •Формула Остроградського-Гауса. Формула Стокса.
- •Скалярне поле. Характеристики скалярного поля. Градієнт.
- •Векторне поле. Потік векторного поля. Дивергенція векторного поля. Циркуляція векторного поля. Ротор векторного поля.
- •Спеціальні векторні поля. Потенціальне поле. Соленоїдальне поле.
- •Поняття числового ряду. Збіжність і сума ряду. Основні властивості збіжних рядів. Необхідна ознака збіжності ряду.
- •2. Деякі властивості числових рядів.
- •3. Необхідна ознака збіжності ряду
- •Достатні ознаки збіжності додатних рядів
- •Візьмемо другий додатний числовий ряд, збіжність чи розбіжність якого відома (11)
- •Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжності рядів
Криволінійні інтеграли другого роду вздовж просторових кривих.
Формула Гріна. Обчислення площі плоскої фігури через криволінійний інтеграл.
Зв'язок між подвійним інтегралом по області D і криволінійним інтегралом по межі L цієї області встановлює формула Гріна, яка широко застосовується в математичному аналізі. Нехай на площині Оху задана область D, обмежена кривою, яка перетинається з прямими, паралельними координатним осям не більше ніж в двох точках тобто область D — правильна.
Т еорема. Якщо функції Р(х;у) і Q(х;у) неперервні разом зі своїми частинними похідними в області D, то має місце формула (2.8)
де L— межа області D і інтегрування уздовж кривої L,
проводиться в додатньому напрямі
Формула (2.8) називається формулою Гріна.
Нехай — рівняння дуги АnВ, а - рівняння дуги АmВ (Див. рис. 8). Знайдемо спочатку . За правилом обчислення подвійного інтеграла, маємо:
Поверхневі інтеграли першого роду: означення, обчислення.
Узагальненням подвійного інтеграла є так званий поверхневий інтеграл. Нехай в точках деякої поверхні S, з площею S, простору Охуz визначена неперервна функція
f(х;у; z). Розіб'ємо поверхню S на n частин площі яких позначимо через (див. рис. 14), а діаметри — через , . В кожній частині візьмемо довільну точку і складемо суму:
(3.1) .
Вона називається інтегральною для функції по поверхні S.
Якщо інтегральна сума (3.1) має межу, то він називається поверхневим інтегралом I роду від функції f(х;у; z) по поверхні S і позначається:
Таким чином, за визначенням, (3.2)
Відзначимо, що якщо поверхня S гладка (в кожній її точці існує дотична площина, яка безперервно змінюється з переміщенням точки по поверхні), а функція (х; у; z) неперервна на цій поверхні, то поверхневий інтеграл існує (теорема існування)
Поверхневий інтеграл I роду володіє наступними властивостями:
1. ,де с — число.
2.
3. Якщо поверхню S розбити на частини S1 і S2 такі, що S = S1 S2, а перетин S1 і S2 складається лише з межі, що їх розділяє, то:
4. Якщо на поверхні S виконана нерівність то:
5. , де S- площа поверхні S;
6.
7. Якщо (х; у; z) неперервна на поверхні S, то на цій поверхні існує точка така, що:
(теорема про середнє значення).
Обчислення поверхневого інтеграла I роду
Обчислення поверхневого інтеграла I роду зводиться до обчислення подвійного інтеграла по області D) — проекції поверхні S на площину Оxу. Розіб'ємо поверхню S на частини . Позначимо через проекцію на площину Оxу. Отримуємо формулу:
(3.5)
що виражає інтеграл по поверхні S через подвійний інтеграл по проекції S на площину Оху.
Деякі застосування поверхневих інтегралів до механіки.
Площа поверхні
Якщо поверхня S задана рівнянням z = z(х;у), а її проекція на площину Оху є область D, в якій z(x;y), , — неперервні функції, то її площа S обчислюється по формулі: або
Крім того, поверхневий інтеграл застосовують для обчислення маси, координат центру мас, моментів інерції матеріальних поверхонь з відомою поверхневою густиною розподілу маси . Всі ці величини визначаються одним в тим же способом: дану область розбивають на кінцеве число «дрібних частин», роблячи для кожної області розподілу спрощуючи задачу припущенні; знаходять наближене значення шуканої величини; переходячи межі при необмеженому подрібненні області розподілу. Проілюструємо описаний спосіб на прикладі визначення маси матеріальної поверхні.
Маса поверхні
Про матеріальну поверхню відомо: густина розподілу маси . Тоді для знаходження маси поверхні:
1. Розбиваємо поверхню S на n частин S , і = 1,2,... n, площу якої позначимо
2. Беремо довільну точку Мі (хі; уі; zi) в кожної області S . Припускаємо, що в межах області S густина постійна і рівна значенню її в точці Мі
З. Маса області S мало відрізняється від маси фіктивної однорідної області з постійною густиною
4. Підсумовуючи по всій області, одержуємо:
5. За точне значення маси матеріальної поверхні S приймається межа, якої прагне отримане наближене значення при прагненні до нуля діаметрів областей S тобто або
Моменти, центр тяжкості поверхні
Статистичні моменти, координати центру тяжкості, моменти інерції матеріальної поверхні S знаходяться по відповідних формулах: