- •Обчислення потрійного інтеграла.
- •Потрійний інтеграл у циліндричних і сферичних координатах.
- •Застосування потрійного інтеграла до задач геометрії.
- •Застосування потрійного інтеграла до задач механіки і фізики.
- •Криволінійні інтеграли першого роду: означення, його існування, обчислення, властивості.
- •Застосування криволінійного інтеграла першого роду: Маса матеріальної кривої, центр маси, момент інерції.
- •Криволінійні інтеграли першого роду для просторових кривих.
- •Криволінійні інтеграли другого роду: означення, його існування, обчислення, властивості.
- •Криволінійні інтеграли другого роду вздовж просторових кривих.
- •Формула Гріна. Обчислення площі плоскої фігури через криволінійний інтеграл.
- •Поверхневі інтеграли першого роду: означення, обчислення.
- •Деякі застосування поверхневих інтегралів до механіки.
- •Поверхневі інтеграли другого роду. Зв'язок між поверхневими інтегралами і і II роду.
- •Формула Остроградського-Гауса. Формула Стокса.
- •Скалярне поле. Характеристики скалярного поля. Градієнт.
- •Векторне поле. Потік векторного поля. Дивергенція векторного поля. Циркуляція векторного поля. Ротор векторного поля.
- •Спеціальні векторні поля. Потенціальне поле. Соленоїдальне поле.
- •Поняття числового ряду. Збіжність і сума ряду. Основні властивості збіжних рядів. Необхідна ознака збіжності ряду.
- •2. Деякі властивості числових рядів.
- •3. Необхідна ознака збіжності ряду
- •Достатні ознаки збіжності додатних рядів
- •Візьмемо другий додатний числовий ряд, збіжність чи розбіжність якого відома (11)
- •Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжності рядів
Криволінійні інтеграли першого роду для просторових кривих.
Криволінійні інтеграли другого роду: означення, його існування, обчислення, властивості.
Р озв’язання задач про обчислення роботи змінної сили при переміщенні матеріальної точки уздовж деякої кривої приводить до поняття криволінійного інтеграла II роду. Криволінійний інтеграл роду визначається майже так само, як і інтеграл I роду. Нехай в площині Оху задана неперервна крива АВ (або L) і функція Р(х; у), визначена в кожній точці кривої. Розіб'ємо криву АВ точками M0=A,M1,M2…,Mn=B в напрямі від точки А до точки В на n дуг Mi-1Mi з довжинами . На кожній елементарній дузі Mi-1Mi візьмемо в точці і складемо суму вигляду )де проекція дуги Mi-1Mi на вісь Ох (див. рис. 5).
Суму (2.1) називають інтегральною сумою для функції Р(х; у) по змінній х. Таких сум можна скласти незліченну множину. (Відмінність сум (1.1) і (2.1) очевидно.)
Якщо підінтегральна сума (2.1) має кінцеву межу, не залежну ні від способу розбиття кривої АВ, ні від вибору точок ,то її називають криволінійним інтегралом по координатам х II роду від функції Р(х; у) по кривій АВ і позначають або
Отже
Аналогічно вводиться криволінійний інтеграл від функції Q(х; у) по координаті у
де — проекція дуги Mi-1Mi на вісь Oу.
Криволінійний інтеграл II роду загального вигляду визначається рівністю
Криволінійний інтеграл по просторовій кривій L визначається аналогічно.
Теорема Якщо крива АВ гладка, а функції Р(х;у) і Q (х;у) неперервні на кривій АВ, то криволінійний інтеграл II роду існує.
Відзначимо лише деякі властивості криволінійного інтеграла II роду
При зміні напряму шляху інтегрування криволінійний інтеграл II роду змінює свій знак на протилежний, тобто:
(проекція дуги Mi-1Mi на осі Ох і Оу міняють знаки із зміною напряму).
2. Якщо крива АВ точкою С розбита на дві частини АС і СВ, то інтеграл по всій кривій рівний сумі інтегралів по її частинах, тобто:
3. Якщо крива АВ лежить в площині перпендикулярної осі Ох, то (все );
аналогічно для кривої, що лежить в площині, перпендикулярній осі Оу:
(все );
4. Криволінійний інтеграл по замкнутій кривій (позначаеться ) не залежить від вибору початкової точки (залежить тільки від напряму обходу кривої.)
Дійсно, (див. рис. 6).
З другого боку
Таким чином: .
Обчислення криволінійного інтеграла II роду
Обчислення криволінійного інтеграла II роду, як і I роду, може бути зведено до обчислення певного інтеграла.