Глава 3. Законы сохранения энергии и импульса

3.1. Сохраняющиеся величины

Рассмотрим механическую систему, тела которой могут взаимодействовать как между собой, так и с телами другой механической системы. Система, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой. В замкнутой механической системе сохраняются три физические величины: энергия, импульс и момент импульса.

В основе закона сохранения энергии лежит однородность времени, т.е. равнозначность всех моментов времени. Замена момента времени на момент времени без изменения значений координат и скоростей не изменяет механические свойства системы.

Закон сохранения импульса является следствием однородности пространства (свойства пространства одинаковы во всех точках вдоль некоторого направления). Параллельный перенос замкнутой системы из одного места пространства в другое, без изменения взаимного расположения и скоростей частиц, не изменяет механические свойства системы.

Закон сохранения момента импульса связан с изотропией пространства, т.е. свойства пространства одинаковы по всем направлениям. Поворот замкнутой системы, как целого, не отражается на ее механических свойствах.

В ряде случаев законы сохранения позволяют, не решая уравнений движения, получить данные о протекании механическиx явлений.

3.2. Работа. Мощность. Коэффициент полезного действия

1. Работой называется скалярное произведение силы на перемещение (рис. 3.1):

(3.1)

где -  угол между вектором силы и вектором перемещения (рис. 3.1).

Рис. 3.1.

Если сила в процессе движения изменяется по величине, то можно найти элементарную работу , совершаемую под действием силы при перемещении на бесконечно малую величину

(3.2)

Полная работа переменной силы может быть получена при интегрировании по пути перемещения тела из точки 1 в точку 2:

(3.3)

Работу можно представить графически как площадь, ограниченную функцией F(S) и осями координат (рис. 3.2):

Рис. 3.2.

(3.4)

Работа измеряется в Джоулях:

2. Мощностью N называется работа, совершаемая за единицу времени:

(3.5)

Размерность мощности: (Ватт).

Коэффициентом полезного действия называется отношение полезной к работе затраченной:

. (3.6)

или отношение мощности полезной к мощности полной:

. (3.7)

3.3. Понятие поля. Консервативные силы. Потенциальная энергия

Если в каждой точке пространства частица подвержена действию других тел, то эта частица находится в поле сил. Существуют гравитационное, электрическое, магнитное поле и другие поля. Однородным называется поле, где на тело действует сила, одинаковая по величине и направлению в каждой точке пространства. Если сила зависит от расстояния до некоторого центра, то поле называется центральным. Если можно задать явно потенциальную энергию тела U(r), то поле является потенциальным. Потенциальная энергия задается с точностью до произвольной постоянной.

Связь между силой и потенциальной энергией в случае потенциального поля в векторном виде имеет вид

(3.8)

В декартовой системе координат:

(3.9)

Элементарная работа силы в потенциальном поле записывается в виде

(3.10)

Работа, совершаемая над материальной точкой силами стационарного потенциального поля, не зависит от пути, по которому движется точка (рис. 3.3).

Рис. 3.3.

Проинтегрируем соотношение (3.10) по пути а вдоль траектории от точки 1 до точки 2

(3.11)

где - потенциальная энергия в точках 1 и 2. При интегрировании по пути b получим тот же результат.

Консервативной называется сила, работа которой не зависит от пути переходa из одного положения в другое.

Работа потенциальных сил равна разности потенциальных энергий материальной точки в начальном и конечном положениях:

Покажем, что работа консервативных сил на замкнутом пути равна нулю. Полная работа при движении по замкнутому пути равна сумме работы , совершаемой в прямом и работы в обратном направлении: но т.к. изменяется направление пути (рис. 3.4), поэтому работа на замкнутом пути равна нулю.

Если в системе действуют неконсервативные силы, то такая система называется диссипативной.

Рис. 3.4.