18.4. Преобразование скоростей

Преобразования Лоренца позволяют по координатам события в одной системе отсчета найти координаты того же события в другой системе отсчета. Система K' движется относительно системы K со скоростью V вдоль оси x. Введем обозначения

- компоненты скорости в системе K;

- компоненты скорости в системе K'.

Запишем преобразования Лоренца в дифференциальной форме

(18.18)

Разделим первые три равенства на четвертое, получим преобразование скоростей

(18.19)

В предельном случае малых скоростей частиц по сравнению со скоростью света (v << c), эти формулы переходят в преобразования скоростей Галилея

Пусть частица движется со скоростью _x =  вдоль оси x, . Тогда , и преобразования Лоренца примут вид

(18.20)

Если скорость частицы относительно движущейся системы равна скорости света  = c и скорость самой системы V = c, то получим, что скорость  не больше, чем cкорость света:

(18.21)

Глава 19. Релятивисткая динамика

19.1. Принцип наименьшего действия Гамильтона

Для любой механической системы существует функция S, называемая действием, которая для реального движения должна принимать наименьшее (или наибольшее) значение. Следовательно, вариация действия S = 0. Для свободной частицы, перемещающейся вдоль некоторой мировой линии из точки q₁ в точку q₂ (рис.19.1) действие имеет вид

(19.1)

где dS - элементарный интервал,

- постоянная, характеризующая данную частицу.

Рис.19.1.

Действие можно представить как интеграл по времени

(19.2)

где - функция Лагранжа для данной механической системы.

Поскольку находим

(19.3)

Отсюда получим функцию Лагранжа для частицы

(19.4)

Поскольку функция Лагранжа в классической механике

, (19.5)

где T - кинетическая энергия;

U - потенциальная энергия;

то в предельном случае c функция Лагранжа должна принимать значение

(19.6)

т.к. для свободной частицы U = 0.

Разложим функцию Лагранжа в ряд по V/c:

(19.7)

Постоянную можно опустить, т.к. функция Лагранжа, как и энергия, определяется с точностью до постоянной:

, (19.8)

отсюда получим

. (19.9)

Таким образом, для свободной материальной точки функция Лагранжа

. (19.10)

19.2. Импульс частицы

Импульсом частицы называется вектор

. (19.11)

Подставим (10.10) в (10.11), находим

(19.12)

В предельном переходе c

.

19.3. Сила

Силой называется производная от импульса по времени:

или запишем в виде

. (19.13)

Это основное уравнение релятивистской динамики.

Если скорость частицы изменяется только по направлению, т.е. сила перпендикулярна к скорости, то она имеет вид

(19.14)

где m₀ - масса покоя частицы.

Если же скорость изменяется только по величине, т.е. сила направлена по скорости

. (19.15)

Отсюда видно, что отношение силы к ускорению различно в этих случаях. Это означает, что выражение для силы в общем случае должно включать оба этих выражения (10.14) и (10.15).

19.4. Энергия

Энергией частицы называется величина

. (9.16)

Подставим в (10.16) импульс p и функцию Лагранжа L, получим

(19.17)

Если скорость частицы обращается в нуль, то ее энергия называется энергией покоя

. (19.18)

При малой скорости V << c

, (19.19)

что, без учета постоянной , дает классическое выражение для кинетической энергии.

Эйнштейн записал связь между энергией и массой частицы в виде

, (19.20)

где - релятивистская масса.

Отсюда следует, что нет необходимости вводить выражение для массы

(19.21)

т.к. масса и энергия пропорциональны:

(19.22)

В связи с этим, нет необходимости говорить о законах сохранения энергии и полной массы, т.к. это эквивалентные понятия.