Глава 6. Закон сохранения момента импульса

6.1. Закон сохранения момента импульса

Моментом импульса L_i материальной точки с массой , движущейся со скоростью _i относительно начала координат 0, называется векторное произведение радиус-вектора r_i на вектор импульса p_i:

(6.1)

Вектор L_i перпендикулярен к векторам r_i и p_i (рис. 6.1).

Рис. 6.1.

Моментом импульса механической системы относительно начала координат 0 называется вектор L, равный геометрической сумме моментов импульсов всех материальных точек относительно точки О.

(6.2)

Значение момента импульса зависит от выбора начала координат. Если начала координат отстоят на расстоянии a друг от друга (рис. 6.2), то радиус-векторы одной и той же точки связаны соотношением

Рис. 6.2.

(6.3)

Поэтому момент импульса системы

(6.4)

или

Отсюда следует, что момент импульса не зависит от выбора начала координат только в том случае, когда система покоится как целое, и ее суммарный импульс равен нулю:

Продифференцируем по времени выражение (6.2), получим

(6.5)

так как

Согласно второму закону Ньютона

(6.6)

где f_ik - внутренние силы, действующие на материальную точку с массой ;

- внешние силы. Из (6.5) получим

(6.7)

т

61

ак как суммарный момент внутренних сил равен нулю, .

Вектор называется главным моментом всех внешних сил, действующих на механическую систему.

Таким образом, из уравнения моментов

(6.8)

следует, что поскольку для замкнутой системы момент импульса внешних сил , то и выполняется закон сохранения момента импульса:

(6.9)

Момент импульса замкнутой системы относительно неподвижнойточки не изменяется с течением времени.

Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса выполняются не только для механических систем, но и для систем атомов и молекул, атомных ядер и элементарных частиц. В отличие от макроскопического тела, момент импульса которого связан с движением относительно некоторой точки или оси, микрочастица может обладать также собственным моментом импульса, называемым спином. Полный момент импульса микрочастицы L_i равен сумме орбитального момента импульса L_ir и собственного момента импульса L_is:

(6.10)

6.2. Условие сохранения момента импульса относительно оси для незамкнутой системы

Моментом импульса механической системы относительно оси называется проекция вектора момента импульса L на эту ось.

Найдем проекции момента импульса на оси декартовой системы координат. Из уравнения моментов следует:

, , (6.11)

где M_x, M_y, M_z, - моменты внешних сил относительно осей декартовой системы координат.

Если система не является замкнутой, но момент сил относительно некоторой оси, например, оси z, равен нулю, то , следовательно, сохраняется момент импульса относительно этой оси:

(6.12)

Если система находится во внешнем поле, симметричном относительно некоторой оси, то проекция момента импульса на ось сохраняется. Так, гравитационное поле симметрично относительно любой оси, проходящей через центр, следовательно, сохраняется момент импульса относительно этой оси.

6.3. Закон сохранения момента импульса для вращающейся системы тел

Если тело вращается вокруг неподвижной оси z и при условии, что M_z = 0, проекция момента импульса на эту ось остается постоянной:

(6.13)

где - момент всех внешних сил относительно оси вращения z;

- момент инерции тела относительно оси z;

- угловая скорость вращения.

Пусть тело в начальный момент вращается с угловой скоростью вокруг оси z, момент инерции относительно этой оси . Если момент инерции тела вследствие действия внутренних сил станет равным , то угловую скорость вращения можно найти, применяя закон сохранения момента импульса в виде

(6.14)

отсюда находим