Тема 9. Статистические методы анализа корреляционных связей

Разделы темы:

1. Регрессионно-корреляционный анализ и его этапы.

2. Определение параметров уравнения регрессии.

3. Оценка тесноты связи и проверка достоверности в регрессионно-корреляционном анализе.

4. Многофакторный корреляционно-регрессионный анализ.

9.1 В ЧЕМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ И КАКОВЫ ЕГО ЭТАПЫ?

Регрессионно-корреляционный анализ

- заключается в построении и анализе экономико-математической модели в виде уравнения регрессии.

9.2 НАЗОВИТЕ ЭТАПЫ РЕГРЕССИОННО-КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА (РКА)

Этапы РКА

1. Предварительный (априорный) анализ:

- формируется задача исследования.

- методика измерения результативного показателя.

- число факторов.

2. Сбор информации и ее первичная обработка:

- обеспечение качественной и количественной однородности

- переменные х, х₂, х₃, … должны быть линейно независимыми.

- каждому значению факторного признака х должно соответствовать нормальное распределение результативного признака у с одинаковой дисперсией.

3. Построение модели (управление регрессии).

4. Оценка и анализ модели.

9.3 КАК ОПРЕДЕЛИТЬ ПАРАМЕТРЫ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ ПРЯМОЙ ЗАВИСИМОСТИ?

-

Параметры уравнения прямой зависимости

уравнение имеет вид:

система нормальных уравнений:

Расчет формы связи основан на методе наименьших квадратов, предусматривающем, что сумма квадратов отклонений всех опытных (эмпирических) точек (Уi), от теоретической линии (Ух) будет наименьшей, т.е.

или

9.4 КАК ОПРЕДЕЛИТЬ ПАРАМЕТРЫ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ?

-

Гиперболическая форма связи

уравнение регрессии имеет вид: У_х=а₀+а ^. 1/х

- система нормальных уравнений:

Произведя замену 1/х = х получим следующую систему уравнений:

9.5 КАК ОПРЕДЕЛИТЬ ПАРАМЕТРЫ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ?

-

Параболическая форма связи

уравнение регрессии имеет вид:

- система нормальных уравнений:

9.6 КАК ОПРЕДЕЛИТЬ ПАРАМЕТРЫ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ?

-

Степенная форма связи

уравнение регрессии имеет вид:

система нормальных уравнений:

9.7 КАК ОПРЕДЕЛИТЬ ПАРМЕТРЫ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРМЕННЫМИ?

Множественная регрессия

- уравнение регрессии имеет вид:

- система нормальных уравнений:

9.8 ЧТО ХАРАКТЕРИЗУЮТ ПАРАМЕТРЫ В УРАВНЕНИИ ПРЯМОЙ?

Параметр а₁

- называется коэффициентом регрессии.

- показывает, на сколько в среднем изменяется величина результативного признака у при изменении факторного признака х на единицу.

- геометрически представляет собой наклон прямой линии, изображающей уравнение корреляционной зависимости относительно оси х.

Параметр а₀

- показывает изменение результативного признака у под влиянием различных факторов, кроме фактора х.

9.9 ЧТО ХАРАКТЕРИЗУЕТ КОЭФФИЦИЕНТ ЭЛАСТИЧНОСТИ?

Коэффициент эластичности (Э)

- применяется при оценке коэффициентов значимости в уравнении регрессии;

- показывает, на сколько процентов увеличивается результативный признак при увеличении факторного признака на 1%.

9.10 КАКАЯ СУЩЕСТВУЕТ ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ КОРРЕЛЯЦИИ И КОЭФФИЦИЕНТОМ РЕГРЕССИИ?

где r – линейный коэффициент корреляции.

σ_у, σ_х – средне квадратическое отклонение соответственно значений результативного и факторного признаков.

9.11 КАК РАССЧИТАТЬ ЛИНЕЙНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ?

-

Линейный коэффициент корреляции

применяется для определения тесноты корреляционной связи; - формулы для расчета;

При r_x = 0 – связь отсутствует

r_x > 0 – связь прямая

r_x  0 – связь обратная

r_x = 1 – связь функциональная

9.12 КАК РАССЧИТАТЬ МНОЖЕСТВЕННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЛЯЦИИ?

-

Множественный коэффициент корреляции (r_xyz)

характеризует влияние на результативный признак нескольких факторов; - формула для расчета

где r_xy,, r_yz , r_xz – парные коэффициенты корреляции.

;

;

9.13 ЧТО ПОКАЗЫВАЕТ И КАК РАСЧИТЫВАЕТСЯ ИНДЕКС КОРРЕЛЯЦИИ?

-

Индекс корреляции

характеризует долю вариации результативного признака, вызванную фактором х.

или

Если индекс корреляции равен или близок к нулю – связь между переменными х и у отсутствует, либо очень незначительна и не может быть охарактеризована выбранной формой уравнения. Близость индекса корреляции к единице свидетельствует о том, что взаимосвязь переменных хорошо описывается данным уравнением.

9.14 КАК ОЦЕНИТЬ СУЩЕСТВЕННОСТЬ ЛИНЕЙНОГО КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ?

При нормальном распределении значений признака в исходной совокупности применяют следующие критерии:

1. При большом объеме выборки:

Средняя квадратическая ошибка коэффициента корреляции

- рассчитывается по формуле:

Если > t_a нормированного отклонения,, то можно говорить о существенности выборочного коэффициента корреляции.

Если данное отклонение < t_a , то с вероятностью (1-а) следует предполагать отсутствие корреляционной связи в генеральной совокупности (а – уровень значимости 0,01; 0,05).

Доверительный интервал для коэффициента корреляции:

( )

2. При малых выборках используется критерий Стьюдента.

Расчетное значение t_p сравнивается с критическим t_к,, которое берется из таблицы значений t_{критерия} Стьюдента с учетом заданного уровня значимости а и числа степеней свободы.

Если t_p > t_к , то величина коэффициента корреляции τ признается существенной.

3. Проверку гипотезы об отсутствии связи можно сделать без вычислений на основе таблицы Фишера. (Значение коэффициентов корреляции при различных уровнях критерия значимости).

9.15 КАК РАССЧИТЫВАЕТСЯ СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА РЕГРЕССИИ?

-

Средняя квадратическая ошибка уровня регрессии (S_e)

показатель значимости и полезности прямой, выражающей отношение между двумя признаками:

где у_і , у_хі – соответственно фактические и расчетные значения результативного признака.

т – число параметров в управлении регрессии.

Можно сопоставить эту величину со средним значением результативного признака, либо со средним квадратическим отклонением результативного признака σ_у. Если S_e < σ_у, использование уравнения регрессии является целесообразным.