3.1.3.4 Формула Гауса

Для отримання підвищеної точності при чисельному інтегруванні використовують формулу Гауса.

(3.9)

У (3.9) не фіксуються не лише вузли інтерполяції , але і квадратурні коефіцієнти .

При цьому невідомих величин , визначаються за умови, що формула є точною у випадку будь-якого многочлена ступеня .

Значення і ( ) наводяться у наступній таблиці:

Таблиця 3.1 – Значення і ( )

Для обчислення інтеграла загального вигляду слід провести заміну змінної

, ( ). (3.10)

Тоді формула Гауса матиме вигляд

(3.11)

При цьому забезпечується точність для багаточлена ступеня до .

Приклад 3.4. Обчислити інтеграл , використовуючи квадратурну формулу Гауса з чотирма ординатами.

Рішення.

Тут , . Знаходимо інтеграл, що шукали, у вигляді

;

;

;

;

;

Квадратурні коефіцієнти попарно рівні:

Тоді остаточно отримуємо

Зауваження. Для функцій, що мають достатню кількість похідних, формула Гауса забезпечує найбільшу точність, а формула Сімпсона точніша за формулу трапецій.

3.2 Завдання на проведення лабораторної роботи

1) Вивчити формули для наближеного обчислення інтегралів і формули похибок.

2) Обчислити інтеграл з за формулами прямокутників, трапецій, Сімпсона, та з для Гауса. Функції наведено у табл. 2.3 лабораторної роботи 2.

3) Навести блок-схеми алгоритмів методів, які було використано в роботі.

3.3 Зміст звіту

У звіті з лабораторної роботи необхідно навести:

– формули наближеного інтегрування;

– обчислення інтеграла за формулами і результат розрахунку;

– точне значення заданого інтегралу і похибки чисельного інтегрування;

– аналіз результатів і висновки з роботи.

3.4 Контрольні питання

1. В чому полягає задача чисельного інтегрування? Як вона втілюється в різноманітних формулах чисельного інтегрування?

2. В яких випадках використовується чисельне інтегрування?

3. Як оцінити похибку наближеного обчислення інтегралів?

4. Вкажіть області застосування формул трапецій, Сімпсона, Гауса.

Література

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966. – 664с.

2. Копченова Н.В., Марон И.В. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972. – 512с.

3. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. – М.: Высш. шк., 1990, – 544с.