2.1.2 Постановка задачі інтерполяції

Задача інтерполяції полягає в наступному: на відрізку задані точки, що називаються вузлами інтерполяції, і значення деякої функції в цих точках

(2.2)

Потрібно побудувати функцію (функція інтерполяції), що приймає у вузлах інтерполяції ті ж значення, що і

Ця задача стає однозначною, якщо замість довільної функції шукати поліном ступеня не вище , тобто такий, що

(2.3)

Геометрично ця задача зводиться до побудови кривої, що збігалася б із заданими значеннями функції у вузлах інтерполяції (рис.2.1).

Формули інтерполяції звичайно використовуються для значень в проміжних точках розглянутого інтервалу, тобто для . Якщо чи , то розглядається задача екстраполяції функції.

При оцінюванні похибки результату повинні враховуватися як похибка методу інтерполяції (залишковий член), так і похибка округлення при обчисленнях.

2.1.2.1 Інтерполяційні формули Ньютона

Інтерполяційні формули Ньютона, як правило, застосовуються для побудови інтерполяційного многочлена у випадку рівновіддалених вузлів, використовуючи горизонтальні таблиці різностей (таблиця 1).

Перша інтерполяційна формула Ньютона призначена для інтерполяції й екстраполяції на початку таблиці, тобто в точках, близьких до , де мало по абсолютній величині

(2.4)

де – кількість кроків, необхідних для досягнення точки , виходячи з точки ;

кінцеві різниці (узяті з таблиці 1, підкреслені лінією).

При одержуємо лінійну інтерполяцію

При маємо квадратичну інтерполяцію

.

Залишковий член визначається за формулою:

де – точне значення функції.

На практиці часто зустрічається потреба для функції, що задана у формі таблиці, підібрати аналітичну формулу, що представляє з деякою точністю задані табличні значення функції. Така формула називається емпіричною. Для побудови емпіричної формули варто враховувати загальні властивості функції. Якщо в таблиці різностей -і різниці функції постійні, то за емпіричну формулу приймають відповідну першу інтерполяційну формулу Ньютона.

Приклад 2.1. Прийняв шаг , побудувати на відрізку інтерполяційний поліном Ньютона для функції .

Рішення.

Побудуємо таблицю кінцевих різностей:

3,50 3,55 3,60 3,65	33,115 34,813 36,598 38,475	1,698 1,785 1,877	0,087 0,092	0,005

Прийняв , , маємо:

(*),

де .

Підставимо q у рівняння (*), отримаємо:

– емпірична формула для заданої функції.

Друга інтерполяційна формула Ньютона застосовується для інтерполяції та екстраполяції наприкінці таблиці, тобто в точках близьких до :

, (2.5)

де кількість кроків, необхідних для досягнення точки , виходячи з точки ;

кінцеві різниці (узяті з таблиці 1).

Залишковий член визначається за формулою

(2.6)

де – точне значення функції.