2.1.2.2 Формула Лагранжа

Розглянуті 1-а і 2-а інтерполяційні формули Ньютона придатні лише у випадку рівновіддалених вузлів інтерполяції. Для довільно заданих вузлів інтерполяції використовують інтерполяційну формулу Лагранжа.

Побудуємо спочатку поліном , що приймає у точці значення , а у решті точок значення

.

Аналогічно побудуємо поліном , що приймає у точці значення , а у решті точок – значення :

. (2.7)

І, нарешті, побудуємо поліном, що приймає в точках задані значення . Він буде дорівнювати сумі:

. (2.8)

Отримана формула (2.8) називається інтерполяційною формулою Лагранжа. Вона призначена для безпосередньої побудови інтерполяційного многочленна. Коефіцієнти в цій формулі називаються коефіцієнтами Лагранжа.

Для обчислення коефіцієнтів Лагранжа може бути використана наведена нижче схема Ейткена.

У таблиці розташовують таким чином:

………………………………………………………………

Позначимо добуток елементів першого рядка через , другого через і т.д. ( ), а добуток елементів головної діагоналі (елементи підкреслені) через . Звідки витікає, що

(2.9)

Отже,

Похибка розрахунку має наступний вид:

, (2.10)

де – значення інтерполяційного полінома Лагранжа у точці , – значення функції у точці .

Для покращення наближення інтерполяційного полінома до функції додаються нові вузли. При цьому у формулах Ньютона до полінома додаються тільки нові доданки. У формулі Лагранжа в аналогічному випадку всі доданки доводиться перераховувати заново, оскільки кожний член цієї формули залежить від всіх вузлів інтерполяції.

Всі інтерполяційні формули виходять з інтерполяційної формули Лагранжа при відповідному виборі вузлів.

Приклад 2.2. Для функції побудувати інтерполяційний поліном Лагранжа, вибравши вузли

, , .

Рішення.

Обчислюємо відповідні значення функції:

, , .

Застосовуючи формулу (2.8), отримаємо:

або

2.2 Завдання на проведення лабораторної роботи

1) Скласти таблицю значень функції, наведеної в таблиці 2.3, розбивши заданий інтервал на 5 відрізків з

2) Скласти горизонтальну таблицю кінцевих різностей.

3) За першою і другою інтерполяційними формулами Ньютона, використовуючи горизонтальну таблицю різностей, визначити значення функції в точках:

4) Побудувати емпіричну формулу для заданої функції.

5) Скласти таблицю значень функції, розбивши заданий інтервал на 10 відрізків. З отриманої таблиці взяти значення і скласти нову таблицю значень функції.

6) Побудувати інтерполяційну формулу Лагранжа.

7) Визначити значення функції за інтерполяційною формулою Лагранжа в точках п. 3).

8) Обчислити похибку розрахунків.

9) Навести блок-схеми алгоритмів методів, які було використано в роботі.

Таблиця 2.3 – Варіанти завдань

№	Функція	Заданий інтервал
1		0;1
2		0;10
3		0;0,5
4		0;05
5		1;11
6
7		1;2
8	tg( )	0;2
9		0;1
10		0,1;1,1
11		0;2
12		0;1
13		1;2
14
15		0;0,5
16		0;1
17		0;
18		0;5
19		0;0,5
20		0;1
21	arcsin	0;0,5
22		0;0,5
23		0;5
24		0;0,2
25		1;2
26		0.4;1.4
27		0;1
28		0.1;1.1
29		1;2
30		0;1

2.3 Зміст звіту

У звіті з лабораторної роботи необхідно навести:

• короткі теоретичні відомості;

• рішення завдань лабораторної роботи;

• аналіз результатів і висновки по лабораторній роботі.