1. Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов

Определение ряда и его сходимость

Определение 1. Пусть задана бесконечная числовая последовательность u₁, u₂,…,u_n,….

Выражение (1) называется числовым рядом. Числа u₁, u₂,…,u_n,… называются первым, вторым, …, n-м, … членами ряда. u_n также называется общим членом ряда.

Определение 2. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда:

Определение 3. Если существует конечный предел то он называется суммой ряда (1), а ряд (1) называется сходящимся. Если не существует или равен бесконечности, то ряд (1) называется расходящимся и суммы не имеет.

Простейшие свойства числовых рядов

Определение 1. Пусть задана бесконечная числовая последовательность u₁, u₂,…,u_n,…. Выражение

(1) называется числовым рядом. Числа u₁, u₂,…,u_n,… называются первым, вторым, …, n-м, … членами ряда. u_n также называется общим членом ряда.

Определение 2. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда:

Определение 3. Если существует конечный предел то он называется суммой ряда (1), а ряд (1) называется сходящимся. Если не существует или равен бесконечности, то ряд (1) называется расходящимся и суммы не имеет.

Теорема 1. Если сходится ряд, полученный из ряда (1) отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и ряд (1). Обратно, если сходится данный ряд (1), то сходится ряд, полученный из ряда (1) отбрасыванием нескольких членов.

Другими словами: на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Доказательство. Пусть S_n – n-я частичная сумма ряда (1), C_k – сумма к отброшенных членов (заметим, что при достаточно большом n все отброшенные члены содержатся в сумме S_n), s_n-k – сумма членов ряда, входящих в сумму S_n и не входящих в C_k. Таким образом:

, где C_k – постоянное число, не зависящее от n.

Из последнего равенства следует, что если существует то существует и и обратно, если существует , то существует и Это и доказывает справедливость теоремы.

Теорема 2. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд , (2)

где с – число, также сходится и его сумма равна c^.S.

Доказательство. Пусть S_n и s_n – n-е частичные суммы соответственно рядов (1) и (2). Тогда

.

Предел s_n существует, так как = =c^. =c^.S, что и требовалось доказать.

Теорема 3. Если ряды

и (3)

сходятся и их суммы равны соответственно и S, то ряды

(4)

и

(u₁-v₁)+ (u₂-v₂)+…+ (u_n-v_n)+… (5) также сходятся и их суммы равны соответственно +S и -S.

Доказательство. Докажем сходимость ряда (4). Обозначим s_n, и S_n – n-е частичные суммы рядов (4), (1) и (2) соответственно. Получим

s_n=(u₁+v₁)+(u₂+v₂)+…+(u_n+v_n)=(u₁+u₂+…+u_n)+(v₁+v₂+…+v_n)= + S_n.

Переходя в этом равенстве к пределу при n®¥, получим

= ( + S_n)= + S_n= + S.

Таким образом, ряд (4) сходится и его сумма равна + S.

Аналогично доказывается, что ряд (5) сходится и его сумма равна -S. Сделайте это самостоятельно

2. Необходимый признак сходимости ряда

Теорема. Если ряд сходится, то u_n=0. Доказательство. Пусть ряд u₁+u₂+…+u_n… сходится, то есть существует конечный предел =S. Тогда имеет место также равенство =S, так как при n и (n-1) . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем - = = u_n=0, что и требовалось доказать.

Следствие. Если u_n≠0, то ряд u₁+u₂+…+u_n… расходится.

Пример.

Ряд расходится, так как u_n= .

Подчеркнём, что рассмотренный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что u_n=0 не следует, что ряд сходится.

Позже докажем, что так называемый гармонический ряд (6) расходится, хотя u_n=