- •Функции нескольких переменных
- •1. Основные понятия
- •2. Предел и непрерывность фнп
- •3. Частные производные фнп
- •4. Полный дифференциал фнп
- •5. Дифференциалы высших порядков
- •6. Дифференцирование сложных функций
- •7. Дифференцирование неявных функций
- •8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •9. Геометрический смысл полного дифференциала первого порядка
- •10. Производная по направлению
- •11. Градиент скалярного поля
- •12. Формула Тейлора для фнп
- •13. Экстремум функции нескольких переменных
- •14. Условный экстремум
- •1. Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов
- •2. Необходимый признак сходимости ряда
- •3. Признаки сравнения числовых рядов
- •4. Признаки Даламбера и Коши
- •5. Интегральный признак сходимости
- •6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •7. Абсолютная сходимость рядов
- •8. Действия над рядами
- •9. Степенные ряды. Определение.
- •10. Интервал сходимости степенного ряда. Теорема Абеля
- •11. Свойства степенных рядов
- •12. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена
- •Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена
- •Дифференциальные уравнения
- •1. Определение ду. Решение ду. Задача Коши. Общее и частное решения. Геометрический смысл уравнения
- •2. Решение уравнений с разделяющимися переменными, примеры
- •Однородные функции. Решение однородных ду первого порядка, примеры
- •4. Линейные уравнения. Определение, методы решений, примеры
- •5. Уравнение Бернулли. Определение, методы решений, примеры
- •6. Уравнения в полных дифференциалах, метод решения, примеры
- •7. Определение ду второго порядка. Решение ду, задача Коши, общее и частное решения
- •8. Решение уравнений, допускающих понижение порядка, примеры
- •1. Уравнения, не содержащие искомой функции и нескольких последовательных производных.
- •2. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
- •3. Уравнения, однородные относительно .
- •4. Обобщенно - однородные уравнения.
- •5. Уравнение в точных производных.
- •9. Линейные однородные ду второго порядка. Свойства решений. Линейная зависимость решений. Общее решение
- •10. Линейные неоднородные ду второго порядка. Теорема о структуре общего решения.
- •5.1. Структура общего решения лнду второго порядка
- •11. Метод вариации постоянных для нахождения частного решения неоднородных ду второго порядка
- •5.2. Метод вариации произвольных постоянных
- •12. Линейные ду второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Теорема об общем решении однородного уравнения
- •13. Линейные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Правила подбора частного решения неоднородного уравнения по правой части уравнения
2. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
Рассмотрим уравнения вида
. (3)
С помощью замены (где p=p(y) - новая искомая функция независимая переменная) порядок уравнения (3) понижается на единицу, так как
, .
Данная подстановка дает уравнение (n-1) - го порядка относительно новой неизвестной функции p:
. При осуществлении такой замены возможна потеря решения y=const. Непосредственной подстановкой необходимо проверить наличие у уравнения (3) решений такого вида.
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Уравнение не содержит явно переменную x, делая замену , уравнение запишется в виде
.
Отсюда находим . Из первого из двух последних уравнений получаем y=C, а из второго имеем , или , откуда
.
Интегрируя, находим
.
Окончательно имеем
,
где - новая произвольная постоянная.
3. Уравнения, однородные относительно .
Рассмотрим уравнения вида
, (4)
где F является однородной с показателем m относительно , т.е.
.
С помощью замены , где u - новая неизвестная функция, порядок уравнения (4) понижается на единицу. Имеем
,. .
Данная подстановка дает дифференциальное уравнение (n-1) - го порядка относительно новой неизвестной функции u:
.
Пример 3. Решить уравнение .
Решение.
Поскольку функция вследствие тождества
однородная относительно переменных , то данное дифференциальное уравнение однородное с показателем однородности 2. Следовательно, применив подстановку , получим уравнение .
Это уравнение Риккати. Непосредственной проверкой можно убедится, что есть частное решение. Поэтому посредством подстановки приходим к линейному уравнению
,
решая которое, получаем окончательный ответ
.
4. Обобщенно - однородные уравнения.
Рассмотрим уравнения вида
. (5)
Уравнение (5) называется обобщенно - однородным, если существуют числа k и m такие, что
.
С помощью замены (при x<0 полагаем )
,
где t - новая независимая переменная, u - новая искомая функция, уравнение (5) приводит к уравнению, не содержащему независимой переменной t и, следовательно, допускающему понижение порядка на единицу (см. п. 2).
Производные при данной замене преобразуются по формулам
.
Подстановка последних равенств в (5) дает уравнение вида
,
которое явно не содержит независимую переменную t.
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Проверим, что уравнение является однородным. С этой целью вместо переменных подставим в выражение для функции соответственно и, если это возможно, подберем значение k таким образом, чтобы выполнялось тождество
.
Очевидно, что такое тождество выполняется лишь при условии 4k=2, т.е при k=1/2 (при этом m=2). Следовательно, данное уравнение обобщенно однородное. Применив подстановку , получим уравнение .
Последнее уравнение явно не содержит переменную t, поэтому посредством замены понижаем порядок на единицу:
.
Проинтегрировав последнее уравнение, находим
.Далее, интегрируем уравнение :
и получаем окончательно решения уравнение в виде
.
5. Уравнение в точных производных.
Рассмотрим уравнения вида
, (1)
левые части которых являются точными производными от некоторой функции , т.е.
.Такие уравнения называются уравнениями в точных производных. Из последнего равенства следует, что соотношение
является первым интегралом уравнения (1) - уравнением (n-1) - го порядка относительно искомой функции. Таким образом, уравнение в точных производных допускают понижение порядка на единицу.
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Имеем ,откуда следует, что ,или .
Это линейное уравнение первого порядка, и его общее решение имеет вид
.