- •Вопрос 1 Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.
- •Вопрос 2 Теорема о переходе к пределу в неравенстве.
- •Вопрос 3 Теорема о пределе промежуточной функции.
- •Вопрос 4 Теорема, устанавливающая связь между функцией, ее пределом и б-м.
- •Вопрос 15 Теорема об ограниченности непрерывной функции.
- •Вопрос 16 Теорема Больцано-Коши (о нуле непрерывной функции)
- •Вопрос 17 Теорема о промежуточном значении непрерывной функции.
- •Вопрос 20 Производные элементарных функций.
- •Вопрос 22 Производные высших порядков, формула Лейбница.
- •Вопрос 24 Теорема Ролля.
- •Вопрос 25 Теорема Кофы.
- •Вопрос 26 Теорема Лагранжа.
- •Вопрос 33 Асимптоты графика. Правило Лопиталя. Интегральное исчисление.
- •Вопрос 37 Интегрирование рациональных дробей.
- •Вопрос 38 Интегрирование иррациональных выражений.
- •Вопрос 39 Интегрирование тригонометрических выражений.
- •Вопрос 40 Понятие интегральной суммы и определенного интеграла. Теоремы об интегрируемой функции.
- •Вопрос 41 Основные свойства определенного интеграла.
- •Вопрос 42 Оценка определенных интегралов.
- •Вопрос 43 Теорема о среднем для определенного интеграла.
- •Вопрос 44 Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом.
- •Вопрос 45 Формула Ньютона-Лейбница.
- •Вопрос 46 Теорема о замене переменной в определенном интеграле.
- •Вопрос 47 Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •Вопрос 48 Применение определенного интеграла к вычислению площадей, длин дуг, объемов тел.
- •Вопрос 49
- •Вопрос 50 Вычисление определителей и их свойства.
- •Вопрос 51 Теорема о существовании обратной матрицы.
- •Вопрос 52 Системы линейных уравнений. Решение методом обратной матрицы.
- •Вопрос 53 Теорема Кронеккера-Капелли.
- •Вопрос 54 Метод Гаусса и формулы Крамера.
- •Вопрос 55 Векторы и операции над ними. Их простейшие свойства. Линейная комбинация
- •Вопрос 58
- •59. Векторное произведение двух векторов.
- •Вопрос 60 Смешанное произведение трех векторов
- •Вопрос 61 Уравнение линии на плоскости. Полярная система координат.
- •Вопрос 62 Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве.
- •Уравнение линии в пространстве
- •Вопрос 63 Уравнения прямой на плоскости: общее, каноническое, параметрическое, в отрезках и с угловым коэффициентом.
- •64. Кривые второго порядка.
- •Вопрос 68 Уравнение прямой в пространстве.
- •Вопрос 69 Цилиндрические поверхности. Цилиндрические поверхности
- •Вопрос 70 Поверхности вращения. Поверхности вращения
- •71. Конические поверхности
Вопрос 41 Основные свойства определенного интеграла.
1. Линейность. Если функции y = f(x), y = g(x) интегрируемы по отрезку [a,b] , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация A f(x) + B g(x) (A, B = const), и
Док-во: для любого разбиения отрезка и любого выбора точек выполняется .
Перейдем в этом равенстве к пределу при . Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства. 2. Аддитивность. Если y = f(x) интегрируема по отрезку [a,b] и точка c принадлежит этому отрезку, то .
Док-во. Если f(x) удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку [a,b], то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам [a,c] и [c,b]. Будем брать такие разбиения отрезка [a,b] , чтобы точка c являлась одним из узлов xi: c = xi0, . Тогда
В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для , вторая - для . Переходим к пределу при . Пределы для всех трёх сумм существуют, и Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу. Пусть, например, c < b < a, и f(x) интегрируема по [c, a]. Тогда, по доказанному, . Отсюда и из определения интеграла для случая, когда нижний предел больше верхнего, следует, что .
При формулировании и доказательстве следующих свойств предполагаем, что b > a. 3. Интеграл от единичной функции ( f(x) = 1). Если f(x) = 1, то . Док-во. Если f(x) = 1 , то для любого разбиения = xn - x0 = b – a, т.е любая интегральная сумма равна длине отрезка. Предел постоянной равен этой постоянной, откуда и следует доказываемое утверждение. 4. Теорема об интегрировании неравенств. Если в любой точке выполняется неравенство , и функции f(x), g(x) интегрируемы по отрезку [a,b], то . Док-во. Для любого разбиения отрезка и любого выбора точек при . Переходя в этом неравенстве к пределу при , получаем требуемое неравенство.
Вопрос 42 Оценка определенных интегралов.
Если на отрезке [a,b] функция удовлетворяет неравенству , то . Док-во. Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств): . Аналогично доказывается и правое неравенство. 5.2. Если функция f(x) интегрируема по отрезку [a,b], то . Док-во. .
Вопрос 43 Теорема о среднем для определенного интеграла.
Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка , такая что . Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда . Число заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка , такая что . Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [a,b] и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).