Вопрос 58

Декартова прямоугольная система координат.

Системой координат называется совокупность одной, двух, трех или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат. В конкретной невырожденной координатной системе каждой точке соответствует один и только один набор координат.

Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной(или ортогональной). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называетсяортонормированной (декартовой) системой координат (в честь французского математика Рене Декарта).

• Расстояние от точки A (x₀; y₀) до оси OX равно |y₀|.

• Расстояние от точки A (x₀; y₀) до оси OY равно |x₀|.

• Расстояние от точки   до начала координат равно 

• Расстояние |AB| между точками A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂) равно 

• Точка M, которая является серединой отрезка AB, где A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂), имеет координаты 

• Расстояние от точки A (x; y; z) до плоскости OYZ равно |x|.

• Расстояние от точки A (x; y; z) до начала координат равно 

• Расстояние |AB| между точками A (x₁; y₁; z₁) и B (x₂; y₂; z₂) равно 

• Координаты точки M, которая является серединой отрезка AB, где A (x₁; y₁; z₁) и B (x₂; y₂; z₂) равны 

59. Векторное произведение двух векторов.

Определение.Векторным произведением [ , ] двух векторов , называют вектор такой, что

1)  =  sin

2)  и 

3) векторы , , образуют правую тройку, т.е. с конца вектора кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки

Свойства векторного произведения.

1) [ , ]=-[ , ]

2) [ , ]=[ , ]

3) [ + , ]=[ , ]+[ , ]

4) Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и

h= sin, S=h =  sin т.е. S=[ , ]

Если векторы , заданы в координатной форме =(x₁,y₁,z₁), =(x₂,y₂,z₂), то векторное произведение в координатной форме вычисляют так:

при этом подразумевается декартова прямоугольная система координат.

Пример.

Заданы =(1,0,-1), =(1,2,1). Найти косинус угла между векторами и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

.

Вопрос 60 Смешанное произведение трех векторов

Смешанным произведением векторов , , называют число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение [ , ], и обозначаемое ( , , ).

Т.е. .

Отметим, что модуль ( , , ) вычисляется так:

( , , )=  [ , ]cos( ^[ , ]).

Так как [ , ]- площадь параллелограмма, построенного на векторах , , вектор [ , ] перпендикулярен плоскости векторов и , а значит  cos( ^[ , ])- это высота параллелепипеда построенного на векторах , , .Поэтому смысл модуля смешанного произведения  объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

В силу свойств скалярного и векторного произведений

1) ( , , )=-( , , )=-( , , )=( , , )

2) ([ , ], )=( ,[ , ])

Если векторы заданы в координатной форме, то ( , , ) можно вычислять по формуле:

.

Полезно знать следующие теоремы о коллинеарности и компланарности векторов

Теорема ( критерий коллинеарности векторов).

Для того, чтобы векторы , были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось 0.

Теорема (о компланарности векторов).

Для того, чтобы векторы , , были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы смешанное произведение этих векторов равнялось 0.

Необходимость. Пусть , , - компланарны, т.е. лежат в одной плоскости. Тогда [ , ] перпендикулярен плоскости в которой лежат эти векторы, а значит cos( ^[ , ])=0. Поэтому ( , , )= [ , ]cos( ^[ , ])=0

Достаточность. Пусть ( , , )=0 Тогда имеем либо [ , ], это означает ,что вектор компланарен , ,

либо =0, но нулевой вектор всегда компланарен , ,

либо =0, а значит компланарен и ,

либо =0, а значит компланарен и .