Вопрос 25 Теорема Кофы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим уравнение хорды, проходящей через точки (a, f(a)), (b, f(b))

y = f(a) + Q·(x - a),

где есть угловой коэффициент хорды. Рассмотрим разность ординат функции и хорды

F(x) = f(x) − f(a) − Q·(x − a).

Очевидно, что функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому на интервале (a, b) найдётся такая точка с, для которой F ' (c) = 0. То есть F ' (c) = f ' (c) − Q = 0. Откуда следует

И, наконец, f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).

Вопрос 26 Теорема Лагранжа.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что знаменатель левой части формулы не обращается в ноль. Если допустить, что g(b) = g(a), то по теореме Ролля для функции g(x) найдется точка x Î (a, b), в которой g ' (x) = 0. А это противоречит условию, что g ' (x) ≠ 0 на (a, b).

Рассмотрим функцию

Функция F(x) на [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля: F(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), и, кроме того, на концах интервала принимает равные значения F(a) = F(b) = 0. По теореме Ролля для F(x) существует точка c Î (a, b) , такая ,что F ' (c) = 0. Так как ,

То

Откуда, учитывая, что g '(c) ≠ 0, следует искомое соотношение.

Вопрос 33 Асимптоты графика. Правило Лопиталя. Интегральное исчисление.

Рассмотрим функцию . График этой функции имеет наклонную асимптоту при . Действительно,

при

Однако эта функция не определена ни на каком луче вида , так что её график не может иметь асимптоты при

Вопрос 37 Интегрирование рациональных дробей.

Рациональной дробью называют выражение вида , где , – многочлены степеней n и m степеней соответственно. Если , рациональная дробь называется правильной, в противном случае – неправильной.

Если дробь неправильная, из нее можно выделить целую часть, разделив числитель и знаменатель.

Например, – неправильная рациональная дробь.

Выполняем деление:

-
-	-1
-
	14x+8 - остаток

Таким образом, неправильную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции (многочлена) и правильной дроби:

Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих четырех типов:

,

,

,

.

Где A, B, C, a, p, q – числа, ,

Покажем на примерах, как интегрируются дроби каждого типа.

Дробь 1-го типа:

.

Дробь 2-го типа:

.

Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл

     .

План решения.

1. Введем обозначения:

     ,

     .

Сравним степени числителя и знаменателя .

Если подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, т.е. степень числителя больше или равна степени знаменателя , то сначала выделяем целую часть рациональной функции, поделив числитель на знаменатель:

    

Здесь многочлен – остаток от деления на , причем степень меньше степени .

2. Разложим правильную рациональную дробь

    

на элементарные дроби. Если ее знаменатель имеет простые вещественные корни , т.е. , то разложение на элементарные дроби имеет вид

     .

3. Для вычисления неопределенных коэффициентов приводим к общему знаменателю дроби в правой части равенства, после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в числителях слева и справа. Получим систему уравнений с  неизвестными, которая имеет единственное решение.

4. Интегрируем целую часть (если она есть) и элементарные дроби, используя табличные интегралы, и записываем ответ

     ,

где – многочлен степени .