- •Математика
- •Введение
- •Студенты должны знать:
- •Приобрести практические навыки:
- •Содержание разделов дисциплины «Математика»
- •Раздел 1. Основы алгебры и анализа
- •Раздел 2. Интегральное исчисление. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ряды
- •Раздел 3. Теория вероятностей
- •Раздел 4. Численные методы и оптимизационные задачи
- •Контрольная работа № 1 включает задания по следующим темам:
- •Тема 1. Элементы линейной алгебры
- •Определители третьего порядка
- •Применение определителей к решению систем линейных уравнений
- •Решение систем линейных уравнений с – неизвестными
- •Рассмотрим решения типовых заданий по теме «Линейная алгебра»
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Линейная алгебра»
- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии Прямоугольная декартова система координат на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Аналитическая геометрия»
- •Тема 3. Введение в анализ Последовательность, предел последовательности
- •Предел функции
- •Основные теоремы о пределах функции
- •Некоторые приемы вычисления пределов функций
- •Имеем , тогда . Непрерывность функций
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Введение в анализ»
- •Тема 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Производная функции. Геометрический и механический смысл производной
- •Основные правила дифференцирования
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Возрастание и убывание функций
- •Экстремумы функции
- •Точки перегиба. Выпуклость и вогнутость
- •Асимптоты плоских кривых
- •Построение графиков функций
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных Функции нескольких переменных
- •Понятие предела для функции двух переменных
- •Определение: Градиентом функции называется вектор с координатами , в точке . По определению
- •Экстремумы функций нескольких переменных
- •Вопросы для самопроверки по теме «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных»
- •Тема 6. Неопределенный интеграл Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Простейшие свойства неопределенного интеграла
- •Основные приемы интегрирования
- •Общие приемы интегрирования
- •Интегрирование рациональных функций
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Неопределенный интеграл»
- •Тема 7. Определенный интеграл
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •Тема 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Дифференциальное уравнение первого порядка
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Уравнения -го порядка, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Дифференциальные уравнения»
- •Тема 9. Ряды Общие сведения
- •Свойства рядов
- •Ряды с неотрицательными членами
- •Знакопеременные ряды
- •Степенные ряды. Интервал сходимости степенного ряда
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Ряды»
- •Тема 10. Элементы Теории вероятностей Формулы комбинаторики
- •Совместные и несовместные события
- •Случайные величины
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Непрерывные случайные величины
- •Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана
- •Вопросы для самопроверки по теме «Теория вероятностей»
- •Тема 11. Комплексные числа Основные понятия
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Комплексные числа»
- •Тема 12. Элементы линейного программирования Общая постановка задачи
- •Решение систем линейных неравенств с двумя переменными
- •Графический метод. Выбор оптимального варианта
- •Алгоритм симплексного метода
- •Транспортная задача
- •Метод потенциалов
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Линейное программирование»
- •Контрольная работа № 1 (первый семестр)
- •Контрольная работа № 2 (второй семестр)
- •Контрольная работа № 3 (третий семестр)
- •Контрольная работа № 4 (четвертый семестр)
- •Методические указания по выполнению и оформлению контрольных работ
- •Формы и содержание отчетности студентов
- •Вопросы к экзамену (1 семестр)
- •Вопросы к зачету (2 семестр)
- •Вопросы к зачету (3 семестр)
- •Вопросы к экзамену (4 семестр)
- •Список литературы
- •Математика
- •1 62600, Череповец, ул. Сталеваров, 44
Уравнения с разделяющимися переменными
Определение: Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде: , то есть, если его правая часть есть произведение двух функций, одна из которых не зависит от , а другая от .
Пример 1.
Найти общее решение дифференциального уравнения .
Разделяя переменные и интегрируя, получаем: – общий интеграл данного уравнения во всей плоскости .
Пример 2.
Решить дифференциальное уравнение и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Приведем его к виду: .
Если равны дифференциалы, то равны неопределенные интегралы . Отсюда получаем Общий интеграл . Подставляем начальное условие : ,
отсюда получаем частный интеграл
Однородные уравнения
Определение: Функция называется однородной -го измерения относительно своих аргументов и , если для любого имеет место тождество .
Например, однородная функция 3го измерения относительно и , т.к. .
Сумма однородных функций одинакового измерения есть однородная функция того же измерения.
Произведение однородных функций есть однородная функция, измерение которой равно сумме измерений сомножителей.
Частное однородных функций есть однородная функция. Её измерение равно разности измерений делимого и делителя.
Определение: Дифференциальное уравнение называется однородным, если его правая часть есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов. Однородным будет также всякое уравнение вида: , где и – однородные функции одинакового измерения.
С помощью замены , где – новая неизвестная функция, однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример 3.
Найти общее решение уравнения .
Функция определена в областях где , т.е. имеет смысл. Полагаем , . При этом .
Получаем уравнение с разделяющимися переменными относительно :
,
Интегрируем левую часть по , правую по ; получаем , ,
Подставляя , находим – совокупность решений данного уравнения. Здесь – любое отличное от нуля число.
Линейные уравнения
Определение: Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и её производной , т.е. оно может быть записано в виде: (1).
Если в этом уравнении правая часть не равна тождественно нулю, то это уравнение называется линейным неоднородным уравнением. Если же , то уравнение называется линейным однородным уравнением.
Рассмотрим сначала линейное однородное уравнение . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, находим: ,
,
, где – произвольная постоянная, отличная от нуля.
Для отыскания решений линейного неоднородного уравнения применим метод вариации произвольной постоянной.
Выполним замену , где u и – новые функции от . Тогда уравнение (1) примет вид:
,
.
Если потребовать, чтобы выражение в квадратных скобках было равно 0, т.е. , но найдем сначала , а затем , а, следовательно, найдем .
Пример 4.
Решить дифференциальные уравнения:
а) Это линейное уравнение первого порядка ; .
Выполним замену
,
.
Приравнивая к нулю выражение в скобках, получаем – уравнение с разделяющимися переменными.
отсюда
Подставляя в исходное уравнение. Находим :
,
отсюда , где – произвольная постоянная.
Получаем общее решение уравнения:
б)
Сделав замену , получим
Сгруппируем второе слагаемое с третьим:
Приравниваем к в квадратных скобках, находим функцию :
;
Подставим , находим :
,
; ,
отсюда