Вопрос№5 а)Линейное преобразование, его б)матрицы, в)характеристические корни, собственные значения и собственные векторы. Г)Жорданова форма матрицы.

Опр!1) Квадратная матрица наз невырожденной (неособенной), если её определитель≠0.

а)! V_n - n-мерное действительное лин-е пр-ство. Отображение, переводящее каждый вектор a пр-ства V_n в некот. вектор a’ этого же пр-ства наз. преобразованием. Здесь a’-образ. Преобразование  лин. пр-ства V_n наз. линейным преобразованием этого пр-ства, если сумму любых 2-х векторов a,b оно переводит в сумму образов этих векторов (a+b)=a+b, а произведение любого вектора a на любое число  переводит в произведение образа вектора a на это же число (a)=(a). ! e₁,e₂,…,e_n (1)–база этого пр-ства, а c₁,c₂,…,c_n – упорядоченная система из n векторов пр-ства V_n. Всякий вектор с_i обладает определенной записью в базе (1): c_i=(j=1, j=n)_ije_j, i=1,…,n (2). Из координат вектора c_i в базе (1) можно составить квадратную матрицу А=(_ij) (3),беря в качестве ее i-той строки строку координат вектора c_i,i=1,…,n. А есть матрица лин-го преобразования  в базе (1). Утв: Какова бы ни была упорядоченная система из n векторов пр-ства V_n :c₁,…,c_n (4) , притом единственное, такое лин. преобразование  этого пр-ства, что (4) служит системой образов векторов базы (1) при этом преобразовании: e_i=c_i(5), i=1,…,n. Обозначим ч/з e столбец, сост. Из образов векторов базы (1). Тогда из (5),(2),(3) вытекает след. матричное равенство, описывающее связи м/у , базой e и матрицей А: e=Ae.

б) Квадратные матрицы B,C наз. подобными, если они связаны равенством: C=Q^-1BQ, где Q-невырожденная матрица. С получена из B трансформированием матрицей Q. Th: Матрицы, задающие одно и то же лин-е преобразование в разных базах, подобны м/у собой. При этом матрица лин-го преобразования  в базе e’ получ. трансформированием матрицы этого преобразования в базе e матрицей перехода от базы e’ к базе e. Док-во: ! даны базы e и e’ с матрицей перехода Т: e’=Te (1), ! лин. преобраз.  задается в этих базах соотв-но матрицами А и А’: e=Ae,e’=A’e’(2).  (Te)=A’(Te). Но (Te)=T(e) т.к. если (_i1, _i2,…, _in)-i-я строка матрицы Т, то (_i1e₁+_i2 e₂+…+_ine_n)= _i1(e₁)+_i2(e₂)+…+_in(e_n). Т.о. ввиду (2) (Te)=T(e)=T(Ae)=(TA)e, A’(Te)=(A’T)e,т.е. (TA)e=(A’T)e.Если хотя бы для одного i,1in,i-я строка матрицы TA будет отлична от i-й строки матрицы A’T, то две различные лин. комбинации векторов e₁,e₂,…,e_n окажутся равными др. др., что противоречит лин. независимости базы e. Т.о. TA=A’T, откуда, ввиду невырожденности матрицы перехода T, A’=TAT^-1, A=T^-1A’T.!!!If A задает лин. преобразование  в базе e, то любая матрица В подобная А: B=Q^-1AQ, также задает преобразование  в некот. базе,а именно в базе, получающейся из базы e при помощи матрицы перехода Q^-1.

в) ! A=(_ij)-кв. матрица пор. n c действит. эл-ми, -некот. неизвестное.Тогда матрица A-E,E-единичная матрица пор. n, наз. характ-кой матрицей матрицы А. Мн-н n-й степени |A-E| наз. характеристическим мн-ном матрицы А, а его корни (R,C) наз. характеристическими корнями этой матрицы. Хотя лин.преобр.  м/задаваться в разных базах различными матрицами, однако все эти матрицы имеют один и тот же набор характ. корней ( из подобия), кот. поэтому м/называть характ. корнями самого преобразования . ! в действ. лин. пр-стве V_n задано лин. преобразование .Если вектор b≠0 переводится  в вектор, пропорциональный самому b, b=₀b, где ₀-некот. действит. число, то вектор b наз. собственным вектором преобразования , а число ₀-собственным значением этого преобразования. Утв: Действит. характ. корни лин. преобр.,если они ,и только они служат собственными значениями этого преобразования.Характ. корни лин. преобр. комплексного лин. пр-ства и только они служат собственными значениями этого преобразования.

г )Жордановой клеткой порядка k,относящейся к числу ₀, наз. матрица порядка k,1kn,главную диагональ. кот. заполняет число ₀ из поля Р, ближайшую параллель сверху к гл. диагонали занимает 1, а все ост. Эл-ты матрицы =0. Жордановой матрицей пор. n наз. матрица порядка n, на гл. диагонали кот. нах-ся жордановы клетки J₁,J₂,…J_s некоторых порядков, не обязательно различных, относящиеся к некот. числам из поля Р, также не обязательно различным, а все места вне этих клеток заняты нулями (1sn).