27. Поле заряженной оси
Под заряженной осью понимают тонкий, теоретически бесконечно длинный металлический проводник.
Под линейной плотностью заряда понимают заряд, приходящийся на единицу длины оси.
Пусть диэлектрическая проницаемость окружающей среды равна a.
Для нахождения напряженности поля в некоторой точке, удаленной на расстояние r от оси, проведем через точку цилиндрическую поверхность так, чтобы ее ось совпала с заряженной осью (рис. 15.6).
Рис. 15.6. К определению поля заряженной оси
Используем
теорему Гаусса, которая применима к
замкнутой поверхности (боковая поверхность
цилиндра и два его основания). Поток
вектора
имеется только через боковую поверхность.
Направление
и
на боковой поверхности в каждой точке
совпадают, поэтому
или
(15.25)
Напряженность в поле заряженной оси изменяется обратно пропорционально расстоянию r точки от оси.
(15.26)
Потенциал изменяется по экспоненциальному закону.
Электрическая емкость определяется как отношение заряда к разности потенциалов между телами. Рассчитаем емкость двух соосных цилиндров (рис. 15.7).
Рис. 15.7. Разрез двух соосных цилиндров
Напряжение между поверхностями цилиндров
.
Емкость цилиндрического конденсатора будет равна
(15.27)
29. Поле двух параллельных заряженных осей
Пусть одна ось имеет линейный заряд + , а другая – - . Возьмем в поле некоторую произвольную точку М (рис. 15.8).
Результирующая
напряженность поля в точке М
равна
геометрической сумме напряженностей
от обоих зарядов. Потенциал – функция
скалярная, и он равен сумме потенциалов
от каждой оси
(15.28)
Уравнением эквипотенциали в поле двух заряженных осей является выражение b/a = const, т.е. эквипотенциаль представляет собой совокупность точек, отношение расстояний которых до двух заданных точек есть величина постоянная. Из геометрии известно, что такой совокупностью точек является окружность. Для ее построения соединим точку М с осями. Проведем биссектрису внутреннего (aMb) и внешнего (pMa) углов. Точки 1 и 2 пересечения биссектрис с линией, проведенной через заряженные оси, и точка М будут тремя точками окружности. Для нахождения положения центра окружности (точки О) разделим пополам расстояние между точками 1 и 2.
Рис. 15.8. Поле двух заряженных осей
Рассмотрим поле двухпроводной линии (рис. 15.9).
Рис. 15.9. К рассмотрению поля двухпроводной линии
Заряды проводов по поверхности распределены с неодинаковой плотностью.
Задача о поле двухпроводной линии может быть сведена к задаче о поле двух заряженных осей.
Пусть заряженные оси будут расположены в точках m и n. Из условия симметрии они удалены на одинаковое расстояние x от геометрических осей проводов О2 и О1.
Для
точки 1 отношение b/a
будет
,
для точки 2 –
.
Из
равенства
получим
.
(15.29)
Знак минус перед радикалом соответствует положению точки n, знак плюс – точке m.
Точки m и n называют электрическими осями проводов. Их можно получить геометрическим построением. Проводится линия, параллельная линии, соединяющей оси проводов и касательная к поверхности проводов. Через точки касания поводится окружность диаметром d. Пересечение этой окружности с линией соединяющей оси проводов даст положение электрических осей.
Определим емкость двухпроводной линии
;
;
;
.
(15.30)