22. Напряженность и потенциал электростатического поля
Электростатическое поле создается совокупностью электрических зарядов, неподвижных в пространстве по отношению к наблюдателю и неизменных во времени.
В теории поля усредняют микроскопические неоднородности вещества (на элементарном уровне) в пространстве и во времени, т.е. рассматривают процессы в макроскопическом смысле. Под зарядом тела понимают скалярную величину, равную алгебраической сумме элементарных электрических зарядов в этом теле.
В дальнейшем будем иметь дело с полем, создаваемым в однородных и изотропных средах, т.е. в таких средах, электрические свойства которых одинаковы для всех точек поля и не зависят от направления. Электростатическое поле обладает способностью воздействовать на помещенный в него электрический заряд с механической силой, прямо пропорциональной величине этого заряда. В основу определения электрического поля положено механическое его проявление. Оно описывается законом Кулона, который характеризует силу взаимодействия двух точечных зарядов.
(15.1)
где
– единичный вектор, направленный по
линии, соединяющей заряды.
Если размеры тел, на которых расположены взаимодействующие заряды, много меньше расстояния между ними, то говорят о точечных зарядах.
Основными величинами, характеризующими электростатическое поле, являются напряженность и потенциал .
Потенциал является скалярной величиной, и его значение в каждой точке поля определяется некоторым числом.
Электростатическое поле определено, если известен закон изменения напряженности и потенциала во всех точках этого поля.
Понятие потенциала связано с работой, совершаемой силами поля при перемещении заряда:
(15.2)
Разность потенциалов между исходной и конечной точками пути (точками 1 и 2) зависит только от положения этих точек и не зависит от пути, по которому определялась разность потенциалов. Если пройти по замкнутому пути, то исходная и конечная точки совпадут, т.е.
(15.3)
Циркуляция вектора вдоль любого замкнутого контура равна нулю.
Это основное свойство электростатического поля. Такое поле носит название потенциального. Потенциальными также являются гравитационное поле, установившиеся температурные поля и др.
Электростатическое поле можно охарактеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий.
Силовая линия – это мысленно проведенная в поле линия, начинающаяся на положительно заряженном теле и оканчивающаяся на отрицательно заряженном теле, касательная к которой в каждой точке дает направление напряженности поля.
Эквипотенциальные (равнопотенциальные) поверхности представляют собой совокупность точек поля, имеющих одинаковый потенциал. Линии равного потенциала называются эквипотенциальными.
Эквипотенциальные и силовые линии в любой точке поля пересекаются под прямым углом (рис. 15.1).
Рис. 15.1. Картина электрического поля
Между точками 1 и 2 всегда имеется разность потенциалов. Разделив эту разность на кратчайшее расстояние между этими точками, получим скорость изменения потенциала в этом направлении. При стремлении расстояния между точками к нулю
(15.4)
Так
как направление векторов
и
совпадают, то можно записать:
Модуль вектора напряженности поля E = –d/dn.
Вектор
напряженности можно записать, как
.
Тогда
(15.5)
Напряженность в какой-либо точке поля равна скорости изменения потенциала в этой точке, взятой с обратным знаком.
В общем случае
(15.6)
Тогда
(15.7)
23-24. Граничные условия
Под граничными условиями понимают условия, которым подчиняется поле на границах раздела сред с различными электрическими свойствами.
При интегрировании уравнения Лапласа (или Пуассона) в решение входят постоянные интегрирования. Их определяют из граничных условий.
В
проводящем теле, находящемся в магнитном
поле, вследствие явления электростатической
индукции происходит разделение зарядов
(рис. 15.5).
Рис. 15.5. разделение зарядов в проводящем теле
Все точки тела будут иметь один и тот же потенциал (иначе появилось бы упорядоченное движение зарядов). Поверхность тела эквипотенциальна. Вектор напряженности внешнего поля в любой точке поверхности подходит к ней под прямым углом. Внутри проводящего тела напряженность равна нулю, так как внешнее поле компенсируется полем зарядов, расположившихся на поверхности тела.
На границе раздела проводящего тела и диэлектрика при отсутствии тока по проводящему телу выполняются два условия:
1. Отсутствует тангенциальная (касательная к поверхности) составляющая напряженности поля
(15.21)
2. Вектор электрического смещения в любой точке диэлектрика, непосредственно примыкающей к поверхности проводящего тела, численно равен плотности заряда на поверхности проводящего тела в этой точке:
(15.22)
На границе раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями выполняются следующие условия:
1. Тангенциальные составляющие напряженности поля равны:
Et1 = Et2. (15.23)
2. Нормальные составляющие электрической индукции равны:
Dn1 = Dn2. (15.24)
Уравнения Лапласа и Пуассона являются уравнениями в частных производных, которые в общем случае имеют множество линейно независимых друг от друга решений. Выбор единственного решения, удовлетворяющего конкретной задаче, производят с помощью граничных условий.