Теорема Лапласа

_{Определение. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:}

_{(разложение по элементам i-й строки);}

_{(разложение по элементам j-го столбца).}

_{Убедимся в справедливости теоремы Лапласа на примере определителя матрицы третьего порядка. Разложим его вначале по элементам первой строки}

_{Что совпадает с определением определителя матрицы третьего порядка.}

Пример: Вычислить определитель четвертого порядка треугольной матрицы:

Решение: Выполним разложение по первому столбцу:

Значение теоремы Лапласа состоит в том, что она позволяет свести вычисление определителей n-го порядка к вычислению определителя меньшего порядка, то есть (n-1)-го порядка.

СЛАУ

Р ассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных x₁ , x₂ , ..., x_n:

(1)

- числа-коэффициенты.

1 i m

1 j n

Эта система в «свернутом» виде может быть записана так:

 ⁿ_i=1a_ij x_j = b_i

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричной форме Ax=b, где

, , .

Матрица A, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками – коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы. Матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец x, элементы которой – искомые неизвестные, называется решением системы.

Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b, является матричным уравнением.

Если матрица системы невырождена, то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы Ax=b дается формулой:

x=A ^-1 b.

Решение слау

Определение Упорядоченный набор из n чисел

Решение системы(1) Если при подстановке этих чисел в уравнение вместо соответствующих неизвестных каждое уравнение становится верным числовым равенством.

Система называется несовместной, если множество решений пусто, в противном случае-совместная система. Если существует единственное решение, то определённая система, неопределённая система, если решений бесчисленное множество.

Квадратные системы. Правило Крамера.

Если определитель D=det A матрицы системы Ax=b отличен от нуля, то система имеет единственное решение x₁ , x₂ , ..., x_n, определяемое формулами Крамера

Видно, что k это определитель, получающийся из заменой столбца с номером k столбцом свободных членов.

X_k = _k / , k=1,2, ..., n. – Формула Крамера

Если определитель   0 и система совместна, то она имеет единственное решение, находящиеся по формуле Крамера.

Пример. Вычисление решения системы линейных уравнений по формулам Крамера.

Решить систему:



х₁ = 12/6=2, х₂ = 6/6=1, х₃ = 12/6=2.

Универсальный способ решения слау

Метод Гаусса применим для решения системы линейных алгебраических уравнений c невырожденной матрицей системы. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x₁ , x₂ , ..., x_n

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам:

Матричная запись метода Гаусса.

1. Шаг. Прямой ход метода Гаусса: приведение расширенной матрицы системы

   к ступенчатому виду

          с помощью элементарных операций над строками матрицы (под элементарными операциями понимаются следующие операции:

-перестановка строк;

-умножение строки на число, отличное от нуля;

-сложение строки матрицы с другой строкой, умноженной на отличное от нуля чиcло).

2. Шаг. Обратный ход метода Гаусса: преобразование полученной ступенчатой матрицы к матрице, в первых n столбцах которой содержится единичная матрица , последний, (n+1)-й, столбец этой матрицы содержит решение системы.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса.

Решение:

Выписав расширенную матрицу этой системы, после ряда элементарных преобразований (проследить порядок которых рекомендуем самостоятельно), получим:

откуда

Решая последнюю систему, находим

Здесь ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы и равен, очевидно, двум. Система имеет бесконечно много решений, каждое из которых можно получить, придавая х₃ и х₄ конкретные значения.