Определитель матрицы.
Определение Это число, которое ставится в соответствие каждой квадратной матрице по некоторому правилу.
Определителем N-ного порядка(если матрица такого же порядка) является
Прямоугольные матрицы не имеют определителя.
Определение Численной характеристикой матрицы первого порядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента .
Обозначается определитель одним из символов .
Определение Определителем второго порядка, соответствующим матрице второго порядка, называется число, равное .
Обозначается определитель одним из символов
.
Очевидно, что для составления определителя второго порядка, необходимо найти разность произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали этой матрицы.
Правило Сарруса для квадратных матриц 3 порядка.
Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.
Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.
Пример. Вычислить определитель третьего порядка:
Решение.
Перестановки и подстановки из n символов.
{1,2,3…n}
Произвольная запись слева на право в определённом порядке данных n символов называется перестановкой
Р-число перестановок из n символов
Пара i, j образует инверсию, если большее стоит впереди меньшего(i>j)
Теорема: Все перестановки из n символов можно расположить
с лева на право последовательно так, что чётности соседних будут различны.
Доказывается с помощью леммы.
Лемма: Всякая перемена местами двух символов перестановки меняет её четность на противоположную.
Всякая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.
Чётные перестановки = нечётные перестановки =
Подстановка из n символов.
Всякая подстановка записывается как двустрочная матрица, каждая строка является перестановкой из n символов.
Сумма чисел инверсий в обеих перестановках называется числом инверсий подстановки.
Если сумма чисел инверсий в двух строках чётно, то число инверсий подстановки чётно, а если нет, то нечётно.
Л юбую подстановку можно записать в стандартном виде.
34, 1 2, 2 1, 4 3
Детерминант порядка n – определитель.
Пусть дана матрица порядка n
(*)
Определение:
Определителем порядка n называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое слагаемое которой представляет из себя произведение n элементов определителя матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца определителя. При этом слагаемое берется со знаком “+”, если перестановка, составленная из номеров строк и номеров столбцов, входящих в это произведение – чётное и со знаком “-”, если она не четная.
(*) =
Разложение определителя 3-го порядка по строке и столбцу
Свойства определителя:
Определитель не меняется при транспонирование.
Следствие: всякое свойство, справедливое для строк, справедливо и для столбцов.
Если в определители есть строка, состоящая из 0, то определитель равен 0.
При перемене местами двух строк, определитель меняет знак.
Если в определители есть одинаковые строки, то он равен 0.
Общий множитель элементов любой строки можно выносить за знак определителя.
Если в определителе имеются пропорциональные строки, то определитель равен 0.
Если какая-то строка определителя представленна в виде суммы двух слагаемых(матричных строк) то определитель равен сумме двух определителей у которых все строки, кроме данной такие же как и в исходном определителе. А данная строка в первом слагаемом заменяется на первое слагаемое матричной строки, а во втором на вторую.
Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен 0.
Определитель не изменится, если к одной из его строк прибавить другую, его же, строку, предварительно умножив на любое число.
Миноры и алгебраические дополнения.
Определитель порядка k называется минором
1 k min
m=n A-квадратная матрица
Вычёркиваем выбранные k строк и k столбцов, остается (m-k) строк и столбцовю
M’- минор, оставшийся после отбрасывания выбрранных строк и столбцов.
M’ – дополнительный минор для M минора.
M’ – алгебраическое дополнение.
Теорема. Произведение любого минора |M| k-го порядка на его
алгебраическое дополнение в определителе является алгебраической суммой, слагаемые которой, получающиеся от умножения членов минора |М| на взятые со знаком (-1) Sm члены дополнительного минора |М'|, будут некоторыми членами определителя , причем их знаки в этой сумме совпадают с теми знаками, с какими они входят в состав определителя.
Доказательство. Доказательство этой теоремы начнем со случая, когда
минор |M| расположен в левом верхнем углу определителя:
т. е. в строках с номерами 1,2, …,k и в столбцах с такими же номерами.
Тогда минор |M'| будет занимать правый нижний угол определителя. Число SM в этом случае будет четным:
SM =1+2+…+k+1+2+…+k=2(1+2+…k),
поэтому алгебраическим дополнением для |M| служит сам минор |M'|.
Берем произвольный член
(1)
минора |M|; его знак в |M| будет , если l есть число инверсий в
подстановке
(2)
Произвольный член
(3)
минора |M'| имеет в этом миноре знак , где l' есть число инверсий в подстановке
Перемножая члены (1) и (3), мы получим произведение n элементов
(4)
расположенных в разных строках и разных столбцах определителя; оно будет, следовательно, членом определителя . Знак члена (4) в
произведении |M||M'| будет произведением знаков членов (1) и (3), т.е. . Такой же знак имеет, однако, член (4) и в определителе .
Действительно, нижняя строка подстановки
,
составленной из индексов этого члена, содержит лишь l+ l' инверсий, так как никакое ни с одним не может составить инверсию: все не больше k, все не меньше k+1.