4/Выбор типа математической функции при построении уравнений регрессии

Регрессный анализ заключается в определении аналитического выражения связи между явлениями, в котором изменение одной величины обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин.

Условия применения корреляционно-регрессионного метода:

• Наличие данных по достаточно большой совокупности

• Однородность совокупности

• Необходимость подчинения распределения совокупности по факторному и результативному признакам нормальному закону распределения

Задачи:

• Измерение параметров уравнения (уравнения регрессии)

• Измерение тесноты связи (корреляция)

Виды функций, наиболее часто используемые в эк. моделировании:

1. линейная y= a+bx

2. гипербола y= a + b/x

3. логарифмическая y= a+b*lnx

4. парабола второго порядка y= a+bx+сx^2

5. степенная y=ax^b

6. показательная y=ab^x

7. экспонента y=e^(a+bx)

рис. 2

Среди нелинейных функций используются функции, которые легко приводятся к линейному виду:

1. нелинейные по переменным, но линейные по параметрам (2,3,4)

2. нелинейные по переменным и параметрам (остальные)

Методы выбора функции:

• аналитический (теоретический анализ связи рассматриваемого фактора и результата)

• графический

• экспериментальный метод

Оценивание параметров моделей. В эк. оценивание параметров включает 2 этапа:

• теоретический Считается, что определена генеральная совокупность. Зная те или иные статистические свойства этой совокупности, можно теоретически определить параметры модели.

• эмпирический (использует выборочные данные; можно оценить, но нельзя определить точные значения параметров) – оценка производится методом наименьших квадратов и методом макс. правдоподобия.

5.Свойства оценок:

• Согласно выборочному методу статистики характеристики генеральной совокупности принято называть параметрами, а характеристики выборочной совокупности – оценками.

• Оценка генеральных параметров может быть получена двумя методами:

  • а) методом наименьших квадратов (МНК)

  • б) методом максимального правдоподобия

- несмещенность (в среднем оценка соответствует параметру)

- эффективность (несмещенная оценка называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию по сравнению с другими выборочными оценками)

- состоятельность (состоятельна, если при увеличении объема выборки оценка стремится к оцениваемому параметру).

Для оценки параметров функции используется метод наименьших квадратов.

МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений признака y от теоретических минимальна:

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно и :

Условия применения МНК:

• модель регрессии должна быть линейной по параметрам

• х – не стохастическая переменная (заданная величина)

• значения ошибки – случайные. Их изменение не образует определенной модели

• число наблюдений должно быть больше числа оцениваемых параметров (5-6 раз)

• значения переменной x не должны быть одинаковыми

• изучаемая совокупность должна быть достаточно однородной

• отсутствие взаимосвязи между фактором x и остатком

• модель регрессии должна быть корректно специфицирована

• в модели не должно наблюдаться тесной взаимосвязи между факторами

Пример: Исследуется зависимость между сроком, на который предоставлен кредит (в днях) и ставками межбанковского кредита (в % годовых).

В начале можно построить график (поле корреляции) на основе фактических данных.