Задание 4

Пусть в опыте наблюдается одновременно значения двух случайных величин Х, Y (двух признаков). В результате получена двухмерная выборка объема n=30 приведенная в таблице 4.

4.1. Вычислим выборочные средние Х_ср, Y_ср выборочные дисперсии D_x, D_y и среднеквадратические отклонения s_xв, s_yв по каждому из признаков (признак X рассчитан в Задании 1 )

X_ср=19 s_x=9,856; Y_ср=667; s_y=145,634

Выборочный коэффициент корреляции между наблюдаемыми случайными величинами вычислим по формуле:

, где

получим выборочное среднее произведение (XY)_ср =13695,467 и коэффициент корреляции r_В= 0,712.

Таблица 4.

i	X	Y	i	X	Y	i	X	Y
1	23	512	11	25	746	21	12	699
2	17	659	12	18	673	22	34	972
3	36	815	13	20	678	23	31	820
4	10	594	14	38	874	24	14	630
5	19	678	15	22	713	25	10	590
6	22	714	16	25	743	26	12	610
7	6	426	17	21	700	27	9	450
8	14	503	18	14	763	28	23	720
9	2	487	19	5	743	29	12	512
10	34	543	20	35	1012	30	7	431

 

Построим прямую линейной среднеквадратической регрессии

Вычислим коэффициенты этой прямой и получим ее уравнение. Оно представляет собой линейное приближение уравнения регрессии и построено методом наименьших квадратов, т.е. сумма квадратов отклонения наблюдаемых в выборке точек (x_i, y_i) от соответствующих точек прямой (x_i, (x_i)) является минимальной среди всех возможных прямых. Построенная прямая приведена на рис. 4, на нем же приведены и точки выборки.

Рис.4.

4.2. Выборочный коэффициент корреляции r_В является случайной величиной, поэтому полученное на нашей выборке значение r_В = 0,712 может не отражать истинного значения коэффициента корреляции r(X,Y).

Проверим гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции, это позволит судить о наличии корреляционной связи между признаками Х и Y. В качестве основной гипотезы возьмем предположение об отсутствии корреляции Н₀={r=0}, допустим так же что двухмерная случайная величина (X,Y) имеет нормальное распределение. Примем за критерий случайную величину

Т=,

которая, при справедливости основной гипотезы, имеет распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы. Тогда, задаваясь уровнем значимости ошибки II-рода (отвергнуть верную гипотезу) a₄=0,01 и альтернативной гипотезой Н₀={r0}, находим критические точки двухсторонней критической области из решения уравнения

P(t >t_кр) =a₄

Эти решения представляются обратным распределением Стьюдента и находятся из таблиц t_кр=Т_кр(a/2; n-2), например в [1,2 приложение 6]. Тогда критерий проверки основной гипотезы Н₀ об отсутствии корреляции между X и Y состоит в следующем:

если t_набл £ t_кр гипотеза принимается ( найденный коэффициент корреляции не значителен, случайно отличен от нуля),

если t_набл > t_кр гипотеза отвергается (корреляция значительна )

В нашем примере t_набл =5,365, а t_кр=Т_кр(0,005,28)=2,76 и тогда согласно критерию гипотеза об отсутствии корреляции наблюдаемых случайных величин Х и Y отвергается, т.е. найденный выборочный коэффициент корреляции значим.