Задание 2

Величины Х_ср, D_yT, S случайные и являются точечными оценками

математического ожидания М|Х] дисперсии D[X] и среднеквадратического

отклонения наблюдаемой в выборке случайной величины X.

2.1. Предполагая, что наблюдаемая величина X имеет нормальное

распределение, построим доверительные интервалы для математического

ожидания а=М|Х] и среднеквадратического отклонения при уровне надежности Y⁼0,99. Поскольку известно, что величина имеет распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы, то решая уравнение Р( | t |<t_Y )=γ относительно t_γ можно построить симметричный интервал , в котором с вероятностью γ находится математическое ожидание а. Величина представляет собой точность оценки. Решение есть обращенное распределение Стьюдента, оно протабулировано и может быть найдено и таблиц, например из [1,2 приложение 3].

В рассматриваемом примере t_γ=t(0,99;29)=2,764 , и тогда доверительный интервал для математического ожидания будет 19-5.058< а < 19+5.058 или 13.942< а < 24.058.

Для нахождения доверительного интервала оценки среднеквадратического отклонения σ воспользуемся тем, что величина имеет распределение «Хи» с п-1 степенью свободы. Задавшись надежностью интервальной оценки γ и решая уравнение Р( | a - S| <ε_γ )=γ относительно ε_γ можно построить доверительный интервал. Переходя к эквивалентному уравнению , где , найдем его решение q_γ =q(γ,n-l) из таблицнапример [1,2 приложение 4], тогда точность оценки . Доверительныйинтервал строится таким образом:

S-ε_γ<σ<S+ε_γ или S(l-q_γ)< σ< S(l+q_γ), причем если q_γ< 1, то 0< σ< S(1+q_γ).

В нашем примере q_γ =q(0,99,29)=0,44 тогда ε_γ=0,44*10,024=4,411 доверительный интервал будет следующий

10,024-4,411<σ< 10,024+4,411 или 5,613< σ<14,435.

В нем оцениваемый параметр σ находится с вероятностью γ=0,99.

Задание 3

3.1. Построим гистограмму выборки Х_в как удобную форму представления выборочного распределения. Для этого разобьем наблюдаемый интервал значений в выборке на m равновеликих интервалов

x_min= 1; x_max= 38; m=5 ;

Количество интервалов разбиения m выбирается исходя из свойств выборки, рекомендуется использовать формулу m=l+3,2*Ig(n), m=5,73 примем m=5. Граничные точки интервалов h_j[X_j , X_j+1], j=1,…,m и их центры X_j+0.5вычисляем по формулам следующим образом:

X_j= x_min + (j-l)*Δ; x_j+o.5=(x_j +x_j+i)/2.

Подсчитав для каждого интервала частоты попадания в него элементов выбора n_j и относительные частоты ω=n_j/n , сведем все результаты расчётов наблюдаемых частот n_j, ω_j в следующую таблицу 2 и построим гистограмму частот.

рис. 3.

Таблица 3

hj	1 - 8,4	8,4 - 15,8	15,8 - 23,2	23,2 - 30,6	30,6 - 38	Σ
xj+0.5	4,7	12,1	19,5	26,9	34,3
nj	4	9	9	2	6	30
wj	0,13	0,30	0,30	0,07	0,20	1
Теоретические частоты нормальной случайной величины
uj=	-1,42658	-0,68835	0,04988	0,78811	1,52634
njт=j(uj)	3,09218	6,77478	8,58484	6,29210	2,66768	27,41157
	0,266524	0,7308874	0,0200774	2,9278169	4,1625618	8,10786727
Теоретические частоты показательной случайной величины
njт=exp( -xj+0.5 )n∆	8,877065	6,0134422	4,0735858	2,7595012	1,86932288	23,5929173
	2,679463	1,4832649	5,9577872	0,2090386	9,12763311	19,4571864

 

Рис.3.

3.2. Используя критерий согласия Пирсона, проверим гипотезу Н₀={X~N(a,s)} о нормальном распределении наблюдаемой случайной величины Х с параметрами а=Х_ср, s=S. Для этого подсчитаем теоретические частоты попадания величины Х в интервалы h_j

n_j^т=nP(x_j<Х<x_j+1) =n(F (x_j+1 )–F(x_j))  f_X(x_j+0.5) n D.

Поскольку проверяется гипотеза о нормальном распределении то f_X(x_j+0.5)=j() , где j(u)= - функция Гаусса.

Все результаты расчетов теоретических частот n_j^т приведены в таблице 3 и на рис. 3, где приводится так же кривая теоретических частот.

Согласно критерия Пирсона величина суммарного отклонения наблюдаемых частот от теоретических

c² =

при условии справедливости основной гипотезы имеет распределение «хи-квадрат» с m-3 степенями свободы и может быть принята за критерий проверки гипотезы Н₀. Задаваясь уровнем значимости ошибки II-рода (отвергнуть верную гипотезу) a₃=0,05 находим критическую точку критерия из решения уравнения

P(c² >c²_кр) =a₃.

Его решения представляются обратным «хи-квадрат» распределением и находятся из таблиц c²_кр=c²(a, m-3), например в [1,2 приложение 5]. Тогда критерий проверки основной гипотезы Н₀ о нормальном распределении выборочного признака Х состоит в следующем:

если c²_набл £ c²_кр гипотеза принимается (отклонения

теоретических и наблюдаемых частот не значительны),

если c²_набл > c²_кр гипотеза отвергается (отклонения значительны)

В нашем примере величина c²_набл рассчитана в таблице и ее значение c²_набл=8,1, а c²_кр=c²(0,05, 2)=6,0. Тогда согласно критерию Пирсона гипотеза о нормальном распределении случайной величины Х отклоняется.

3.3. Теперь проверим гипотезу Н₀ ={X ~Е()} о показательном распределении наблюдаемой случайной величины Х с параметром =1/Х_ср.

Теоретические частоты подсчитаем исходя из вида функции плотности показательного распределения

n_j^т  f_X(x_j+0.5) n D; f_X(x_j+0.5)=  exp( -* x_j+0.5 ) .

Рассчитанные теоретические частоты и суммарное относительное отклонение наблюдаемых и теоретических частот приводятся так же в таблице 3 и отражены на рис. 3 .

Из таблицы видно, что наблюдаемое значение критерия при проверке гипотезы c²_набл=19,457 принадлежит правосторонней критической области, так как критическая точка c²_кр=c²(0,05, 5-2)=7,8. Тогда согласно критерию

Пирсона гипотеза о показательном распределении наблюдаемой случайной величины Х отклоняется.