- •Глава 1. Кинематика 3
- •Глава 2. Динамика 15
- •Введение
- •Глава 1. Кинематика
- •1.1. Основные понятия кинематики
- •1.2. Скорость и ускорение точки
- •1.3. Частные случаи движения точки
- •Равнопеременное движение.
- •Прямолинейное равномерное движение.
- •Прямолинейное равнопеременное движение.
- •1.4. Криволинейное движение точки
- •1.5. Поступательное движение твердого тела
- •1.6. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •1.7. Равномерное и равнопеременное вращение
- •Равнопеременное вращение.
- •Глава 2. Динамика
- •2.1. Основные понятия, законы и задачи динамики
- •2.2. Основные виды механических сил
- •2.3. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности.
- •2.4. Работа и мощность.
- •2.5. Механическая энергия.
- •2.6. Импульс точки и системы материальных точек. Закон сохранения импульса.
- •2.7. Энергия системы материальных точек. Закон сохранения механической энергии.
- •2.8. Момент силы. Момент инерции.
- •2.9. Вычисление моментов инерции стандартных тел.
- •2.10. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
- •2.11. Кинетическая энергия вращения тела.
- •2.12. Закон сохранения момента импульса.
- •Глава 3. Механические колебания и волны
- •3.1. Колебательное движение. Гармонические колебания.
- •3.2. Дифференциальное уравнение свободных колебаний. Простейшие механические колебательные системы.
- •3.3. Энергия гармонических колебаний.
- •3.4. Затухающие колебания.
- •3.5. Вынужденные колебания. Резонанс.
- •3.6. Механические волны. Уравнение бегущей волны. Фазовая и групповая скорость.
- •3.7. Волновое уравнение.
Глава 1. Кинематика
1.1. Основные понятия кинематики
Кинематикой называется раздел механики, изучающий движение тел без учета причин, вызвавших это движение.
Для описания движения тел, в зависимости от условий конкретных задач, в механике используются различные физические модели, в которых из всего многообразия проявлений движения выделены главные, определяющие характер движения. Простейшей моделью является материальная точка.
Материальная точка – это абстрактная модель реального тела, которое в данной задаче можно принять за геометрическую точку с массой равной массе тело. Тело можно считать материальной точкой, если его размерами можно пренебречь по сравнению с масштабами движения.
Движение тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому для описания движения материальной точки надо знать, в каких местах пространства эта точка находилась и в какие моменты времени она проходила то или иное положение.
Тело отсчета – это тело, относительно которого рассматривается движение.
Система отсчета – это тело отсчета, связанная с ним система координат и выбранный способ измерения времени (часы).
Траектория – это линия, которую описывает движущаяся материальная точка в пространстве.
Пройденный путь - длина траектории. Это скалярная величина l , [l]=м.
Перемещение – это вектор , соединяющий начальное и конечное положение точки.
Видно, что только при прямолинейном движении.
Радиус вектор – это вектор соединяющий начало координат и данную движущуюся точку.
.
Т.е. перемещение точки равно изменению ее радиус вектора. Если совместить точку О с т.1, то перемещение будет равно самому радиус вектору. , , .
В декартовой системе координат
Для того чтобы знать положение точки в пространстве необходимо в каждый момент времени знать ее координаты или ее радиус вектор. Движение материальной точки может быть задано следующими способами: а) координатным - уравнения движения, б) векторным: (он эквивалентен координатному). При известной траектории возможен еще один способ в) траекторный (естественный) . (рисунок!)
1.2. Скорость и ускорение точки
Пусть положение материальной точки задано радиус-вектором . При движении материальной точки ее радиус-вектор меняется в общем случае, как по величине, так и по направлению. Для характеристики быстроты изменения перемещения вводится понятие скорости точки.
Средняя скорость – это отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени
` υср = ∆/ ∆t.
Часто используют и путевую среднюю скорость, равную пути, пройденному точкой в единицу времени
υ ср=∆l/∆t.
Очевидно, что чем меньше будет промежуток времени ∆t, для которого вычислена средняя скорость, тем величина ср будет точнее характеризовать движение точки. Чтобы получить точную характеристику движения, вводят понятие о (мгновенной) скорости точки в данный момент времени.
Скорость - векторная величина, к которой стремится средняя скорость ср при стремлении промежутка времени ∆t к нулю
υ = (`υср)= . `υ=.
Вектор скорости материальной точки в данный момент времени равен производной от радиус-вектора по времени.
Скорость точки всегда направлена по касательной к траектории ее движения.
Для характеристики изменения скорости вводится понятие ускорения точки.
Ускорение - векторная величина, к которой стремится среднее ускорение ср= ∆/ ∆t при стремлении промежутка времени ∆t к нулю
=.
Вектор ускорения материальной точки в данный момент времени равен производной от скорости по времени.
Вектор ускорения всегда направлен в сторону вогнутости траектории.
Определения `υ и `а, содержат производные по времени от векторов `r и `υ. Переход к зависимостям между их проекциями осуществляется с помощью следующей теоремы: проекция производной от вектора на ось равна производной от проекции данного вектора на ту же ось.
Учитывая, что в декартовой системе координат rx=х, ry =у, rz=z, находим
υx=, υy = , υz =
или
υx=, υy =, υz=,
где точка над буквой означает дифференцирование по времени.
Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т. е. углы a, b, g, которые вектор образует с координатными осями)
Совершенно аналогично
аx = , аy = , аz = .
или
аx = , аy = , аz =
Модуль и направление ускорения найдутся из формул
,
где , , — углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями.