- •Глава 1. Кинематика 3
- •Глава 2. Динамика 15
- •Введение
- •Глава 1. Кинематика
- •1.1. Основные понятия кинематики
- •1.2. Скорость и ускорение точки
- •1.3. Частные случаи движения точки
- •Равнопеременное движение.
- •Прямолинейное равномерное движение.
- •Прямолинейное равнопеременное движение.
- •1.4. Криволинейное движение точки
- •1.5. Поступательное движение твердого тела
- •1.6. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •1.7. Равномерное и равнопеременное вращение
- •Равнопеременное вращение.
- •Глава 2. Динамика
- •2.1. Основные понятия, законы и задачи динамики
- •2.2. Основные виды механических сил
- •2.3. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности.
- •2.4. Работа и мощность.
- •2.5. Механическая энергия.
- •2.6. Импульс точки и системы материальных точек. Закон сохранения импульса.
- •2.7. Энергия системы материальных точек. Закон сохранения механической энергии.
- •2.8. Момент силы. Момент инерции.
- •2.9. Вычисление моментов инерции стандартных тел.
- •2.10. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
- •2.11. Кинетическая энергия вращения тела.
- •2.12. Закон сохранения момента импульса.
- •Глава 3. Механические колебания и волны
- •3.1. Колебательное движение. Гармонические колебания.
- •3.2. Дифференциальное уравнение свободных колебаний. Простейшие механические колебательные системы.
- •3.3. Энергия гармонических колебаний.
- •3.4. Затухающие колебания.
- •3.5. Вынужденные колебания. Резонанс.
- •3.6. Механические волны. Уравнение бегущей волны. Фазовая и групповая скорость.
- •3.7. Волновое уравнение.
3.7. Волновое уравнение.
Выберем совокупность точек, принадлежащих сплошной среде и лежащих на одной прямой, вдоль которой распространяется продольная волна.
– относительная деформация.
Если >0 – расстояние между точками увеличивается – растяжение среды; если <0 – сжатие.
Пусть известно уравнение плоской бегущей волны: ,
первая производная по времени: (1)
и по координате: (2)
Сравнивая (1) и (2). получим: .
Отсюда видно, что деформация среды имеет по абсолютному значению наибольшую величину в тех точках. где скорость колеблющихся точек – наибольшая, то есть где точки проходят через положение равновесия. Из (1) и (2) найдем вторые производные:
Отсюда получим дифференциальное уравнение, с помощью которого описывается распространение волны вдоль оси 0Х:
или
Получили дифференциальное уравнение, решением которого является уравнение волны. В трехмерном случае распространение волны в среде описывается дифференциальным уравнением в частных производных, которое называется волновым уравнением и имеет вид:
,
где S – физическая величина, которая характеризует возмущение, распространяющееся в среде с скорость v;
– оператор Лапласа.