2.8. Момент силы. Момент инерции.

Перейдем теперь к рассмотрению динамики вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Пусть эта ось совпадает, например, с осью Оz декартовой системы координат. Пусть внешние силы, приложенные к разным точкам тела, лежат в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Разобьем тело на столь малые элементы, чтобы их можно было бы считать материальными точками. Пусть на i-ю материальную точку массой m_i с радиус-вектором , действует внешняя сила под углом к направлению радиуса вектора.

Моментом силы относительно данной оси вращения называется величина, равная векторному произведению радиус-вектора материальной точки на вектор силы,

. (8.1)

Данная величина характеризует вращающее действие силы. Вектор направлен вдоль оси вращения. С помощью правила буравчика определяют, в какую именно сторону вдоль оси он направлен. [M]=Н.м.

Модуль вектора момента силы.

.

Величину назувают плечом силы. Это расстояние от оси вращения до линии действия силы. Тогда модуль момента силы определяется как произведение силы на плечо

.

Если внешние силы приложены к нескольким точкам тела, то результирующий или полный момент относительно оси вращения равен алгебраической сумме моментов каждой из сил относительной той же оси. . Например, на рис.16.2. результирующий момент: М=М₁–М₂ + М₃.

Моментом инерции материальной точки m_i относительно оси вращения называется величина, равная произведению ее массы на квадрат расстояния точки до оси вращения

.

Момент инерции тела относительно оси вращения определяется как сумма моментов инерции материальных точек, составляющих тело.

.

В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой множество точек с бесконечно малыми массам , и момент инерции тела определяется интегралом

.

Пределы интегрирования определяются размерами и формой тела:.

Момент инерции зависит от формы тела, относительно какой оси вращается тело и от распределения массы по объему тела.

Если ось вращения перенести параллельно на некоторое расстояние, то момент инерции изменяется и определяется с помощью теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния d между осями

.

2.9. Вычисление моментов инерции стандартных тел.

1. Момент инерции тонкостенного цилиндра массы m и радиуса R относительно его оси (рис.17.1).

Все малые элементы такого цилиндра находятся на одном и том же расстоянии R от его оси, проходящей через центр его масс. , то есть .

По этой же формуле вычисляется момент инерции однородного обруча относительно оси, перпендикулярной к плоскости обруча и проходящей через его центр.

2. Момент инерции сплошного однородного кругового цилиндра массы m и радиуса R относительно его оси (рис.17.2).

Разобьем мысленно цилиндр высотой Н на очень большое число соосных тонкостенных цилиндров, выделим один из них радиуса r.

Так как , его момент инерции: . Тогда момент инерции всего цилиндра

но , поэтому: .

По этой же формуле вычисляется момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр.

3. Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс (рис.17.3.)

Разобьем стержень на малые элементы. Пусть х – расстояние до оси, dx–длина элемента. Момент инерции этого элемента: ,

.

Так как , окончательно получаем .

Если ось вращения параллельна данной и проходит через один из концов стержня, то для нахождения момента инерции воспользуемся теоремой Штейнера: .

В данном случае , а , тогда

.

Следовательно, момент инерции при таком переносе оси вращения увеличился в 4 раза.

Подобные рассуждения приводят к выражению моментов инерции других тел.

4. Момент инерции шара относительно его диаметра:

Момент инерции шара относительно оси, параллельной диаметру и проходящее на расстоянии l от центра масс:

5. Момент инерции цилиндра с отверстием (колесо, муфта):

.