12) Определители второго порядка. Формулы Крамера

Определители второго порядка. Мы видели, что формулы для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:

x = ( ce – bf ) / ( ae – bd )

(3)

y = ( af – cd ) / ( ae – bd ) .

Эти формулы легко запоминаются, если ввести для их числителей и знаменателей следующий символ:

, который будет обозначать выражение: ps – qr .

Это выражение получается перекрёстным умножением чисел p, q, r, s :

и последующим вычитанием одного произведения из другого: ps – qr. Знак « + » берётся для произведения чисел, лежащих на диагонали, идущей из левого верхнего числа к правому нижнему; знак « – » - для другой диагонали, идущей из правого верхнего числа к левому нижнему. Например,

Выражение называется определителем второго порядка.

13) Решение систем 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера

Правило Крамера. Используя определители, можно переписать формулы (3):

Формулы (4) называются правилом Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Исследование решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, показывает, что в зависимости от коэффициентов уравнений возможны три различных случая:

1) коэффициенты при неизвестных не пропорциональны: a : d ≠ b : e ,

в этом случае система линейных уравнений имеет единственное решение, получаемое по формулам (4);

2) все коэффициенты уравнений пропорциональны: a : d = b : e = c : f ,

в этом случае система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, так как здесь мы имеем фактически одно уравнение вместо двух.

3) коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам: a: d = b: e ≠ c: f,

в этом случае система линейных уравнений не имеет решений, так как мы имеем противоречивые уравнения.

14) Определитель третьего порядка и его вычисления

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d_{2 (1)}

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

и покажем, как решение этой системы приводит к определителю третьего порядка.

Умножим обе части первого уравнения системы (1) на l₁, второго l₂, на третьего на l₃, и сложим полученные уравнения:

(a₁l₁ + a₂l₂ + a₃l₃)x +(b₁l₁ + b₂l₂ + b₃l₃)y + (c₁l₁ + c₂l₂ + c₃l₃)z = d₁l₁ + d₂l₂ + d₃l₃ (2)

Выберем l₁, l₂, l₃ так, чтобы коэффициенты при y и z в уравнении (2) равнялись нулю:

b₁l₁ + b₂l₂ + b₃l₃ = 0

c₁l₁ + c₂l₂ + c₃l₃ = 0

или

b₁l₁ + b₂l₂ = - b₃l₃

c₁l₁ + c₂l₂ = - c₃l₃

(3)

Решив систему (3) c помощью алгоритма предыдущего параграфа, найдем l₁, l₂:

Здесь предполагается, что определитель не равен нулю.

Найденные значения l₁,l₂ подставим в уравнение (2), тогда получим(a₁(b₂c₃ - b₃c₂) + a₂(b₃c₁ - b₁c₃) + a₃(b₁c₂ - b₂c₁))x = d₁(b₂c₃ - b₃c₂) + d₂(b₃c₁ - b₁c₃) + d₃(b₁c₂ - b₂c₁)

Отсюда следует, что

если a₁b₂c₃ + a₂b₃c₁ + a₃b₁c₂ - a₁b₃c₂ - a₂b₁c3 - a₃b₂c₁ № 0

Подобным образом можно найти значения остальных неизвестных.

Определение Определителем третьего порядка, составленным из таблицы

a1 b1 c1 (4)

a2 b2 c2

a3 b3 c3

девяти чисел, называется число

(5)

.

Числа, составляющие таблицу (4), называются элементами определителя третьего порядка.

Диагональ сверху вниз направо в этой таблице называется главной диагональю, а диагональ сверху вниз налево - побочной.

Определитель третьего порязка, составленный из таблицы девяти чисел, представляет собой алгебраическую сумму шести произведений; три произведения берутся со знаком + и три произведения - со знаком -.

Со знаком + берется произведение элементов, стоящих на главной диагонали, а также произведения элементов, стоящих на параллели к главной диагонали, с добавлением третьего множителя их противоположного угла таблицы.

Со знаком - берется произведение элементов, стоящих на побочной диагонали, а также произведения элементов, стоящих на параллели к побочной диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла таблицы.