- •Определение действительного числа
- •2) Определение абсолютной погрешности
- •3)Определение относительной погрешности
- •4) Определение линейных уравнений с одной переменной
- •5) Определение линейных неравенств с одной переменной
- •6) Системы неравенств с одной переменной и способы их решения
- •7) Квадратные уравнения и способы их решения
- •8) Квадратные неравенства и способы их решения
- •9) Нелинейные неравенства с одной переменной и способы их решения
- •10) Иррациональные уравнения и способы их решения
- •11) Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и способы их решения
- •12) Определители второго порядка. Формулы Крамера
- •14) Определитель третьего порядка и его вычисления
- •15) Решение систем трёх линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей третьего порядка
- •16) Числовая функция и способы её задания
- •17) Свойства функции (область определения и значения)
- •18) Свойства функции (Монотонность функции.)
- •19) Свойства функции (Четность (нечетность), переодичность)
7) Квадратные уравнения и способы их решения
Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где x − переменная, a, b и c − некоторые действительные числа, называется уравнением степени не выше второй
Если a = 0, то уравнение примет вид bx + c = 0 и будет уравнением степени не выше первой, которое рассмотрено выше.
Если a ≠ 0, то уравнение рассматриваемого вида называется квадратным уравнением (или уравнением второй степени).
Обозначим f (x) = ax2 + bx + c и зададимся целью решить уравнение
f (x) = ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
D = b2 – 4ac
Следующим существенным шагом является извлечение арифметического квадратного корня из обеих частей полученного уравнения, но поскольку дискриминант может иметь разные знаки, то возникает три случая:
-
Если D < 0, то действительных корней нет.
-
Если D = 0, то корни совпадают и равны
-
Если D > 0, то, извлекая корень, получим
Это и есть формула для решения квадратного уравнения
8) Квадратные неравенства и способы их решения
Под квадратным неравенством понимается неравенство, которое может быть приведено к одному из следующих неравенств:
ax2+bx+c>0,
ax2+bx+c<0,
ax2+bx+c≥0,
ax2+bx+c≤0,
где a,b,c - некоторые действительные числа и a/=0.
Простейшими квадратными неравенствами являются неравенства
x2<m и x2>m
Множество решений неравенства x2<m:
1) при m≤0 x=∅ (т. е. нет решений);
2)при m>0 x=(−√m;√m), т.е. −√m<x<√m,
Множество решений неравенства x2>m:
1) при m<0 x=R (т.е. x - любое действительное число);
2) при m>0 x=(−∞;−√m)⋃(√m;+∞), т.е. −∞<x<−√m и √m<x<+∞,
Квадратное неравенство ax2+bx+c>0 в зависимости от значений своих коэффициентов a,b,c имеет множества решений:
1) при a>0, D=b2−4ac≥0
X=(−∞;2a−b−√D)⋃(2a−b+√D;+∞);
2) при a>0, D<0 x=R;
3) при a<0, D≥0
X=(2a−b−√D;2a−b+√D)
4) при a<0, D<0x=∅ (т. е. нет решений);
Решение неравенства ax2+bx+c<0 сводится к решению рассмотренного выше неравенства, если обе части неравенства умножить на −1.
Множество решений нестрогих неравенств ax2+bx+c≥0 и ax2+bx+c≤0 находится как объединение множеств решений соответствующих строгих неравенств и уравнения ax2+bx+c=0.
9) Нелинейные неравенства с одной переменной и способы их решения
10) Иррациональные уравнения и способы их решения
Уравнения, содержащие неизвестную под знаком радикала называются иррациональными уравнениями. Например
Подчеркнем, что радикалы четной степени, входящие в уравнение, понимаются в арифметическом смысле и они существуют если и только если подкоренное выражение неотрицательно.
11) Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и способы их решения
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:
где a, b, c, d, e, f – заданные числа; x, y – неизвестные. Числа a, b, d, e – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными методами.
1.Метод подстановки.
1) Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например x, через коэффициенты и другое неизвестное y:
x = ( c – by ) / a . (2)
2) Подставляем во второе уравнение вместо x :
d ( c – by ) / a + ey = f .
3) Решая последнее уравнение, находим y :
y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).
4) Подставляем это значение вместо y в выражение (2) :
x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ) .
П р и м е р . Решить систему уравнений:
Из первого уравнения выразим х через коэффициенты и y :
x = ( 2y + 4 ) / 3 .
Подставляем это выражение во второе уравнение и находим y :
( 2y + 4 ) / 3 + 3y = 5 , откуда y = 1 .
Теперь находим х, подставляя найденное значение вместо y в выражение для х: x = ( 2 · 1 + 4 ) / 3, откуда x = 2 .
2. Сложение или вычитание. Этот метод состоит в следующем.
1) Умножаем обе части 1-го уравнения системы (1) на (– d ), а обе части 2-го уравнения на а и складываем их:
Отсюда получаем: y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).
2) Подставляем найденное для y значение в любое уравнение системы (1):
ax + b( af – cd ) / ( ae – bd ) = c.
3) Находим другое неизвестное: x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ).