§3. Энтимемы

Далеко не все элементы рассмотренных выше умозаключений в реальном процессе мышления находят явное выражение. Иногда очевидные посылки или очевидное заключение держится в уме (по гречески — эн тюмэ). Так, в приведенном выше примере сложной конструктивной дилеммы меньшая посылка и вывод вполне очевидны. Их можно было бы не приводить. Тогда мы получили бы энтимему. Кстати, у самого Гоцци, из пьесы которого был взят пример, приводится именно энтимема. Чаще всего выражается в явной форме большая посылка. Так, на камне, который встретил витязь на своем пути, было написано: “Если ты поедешь направо, то коня потеряешь, если ты поедешь налево, сам будешь убит”. Витязь видит лишь две дороги — направо и налево. И все ясно.

Энтимемы связаны не только с дилеммами. Условно-категорические, разделительно-категорические и другие типы умозаключений, которые мы рассматривали выше и которые будут еще рассмотрены, так же могут быть энтимематическими. Например: “Если не решать задачи, не овладеть логикой. А ты задачи не решаешь”. Ясно, какой вывод имеется в уме.

Однажды в присутствии Конан-Дойля зашел разговор об одном эсквайре. Когда автора замечательных детективов попросили высказать свое мнение, тот без раздумий ответил:

— Держу пари, что этот эсквайр отрицательно относится к мясным пудингам.

— Какое тонкое наблюдение, — воскликнули присутствующие, — но как вы догадались, сэр Артур?

— Только с помощью дедукции, — скромно объяснил Конан-Дойль, — на смокинге этого джентльмена нет жирных следов.

Здесь зафиксирован лишь вывод и одна из посылок. Восстанавливая другие посылки, которые Конан-Дойль держал в уме, получим: если бы эсквайр положительно относился к мясным пудингам, он ел бы их. Если бы эсквайр ел мясные пудинги, следы от них оставались бы на смокинге. На смокинге нет жирных пятен. Значит, эсквайр не ест мясных пудингов. Поскольку эсквайр не ест мясных пудингов, он отрицательно к ним относится.

Здесь вывод соответствует правилам, хотя одна из посылок сомнительна. Эсквайр мог быть очень аккуратным, или же часто менять смокинги. Мы видим значимость восстановления энтимемы до полного умозаключения. Таким образом нам легче найти ошибку.

§ 4. Аксиоматическое построение логики высказываний

Табличное построение функций истинности не является единственным способом построения логики высказываний. Существуют и другие способы обоснования истинности тех или иных высказываний. Среди них особо существенно аксиоматическое представление логики высказываний. В чем его суть?

Выбираются некоторые тавтологии логики высказываний и рассматриваются, как такие высказывания, истинность которых дана заранее. При этом не обязательно, что эти высказывания будут очевидны сами по себе. Важно, чтобы они были удобны для получения вывода. Могут быть выбраны в качестве аксиоматических различные высказывания. Число их так же может быть разным. Большее число аксиом иногда облегчает процесс получения вывода. В известной книге Д. Гильберта и В. Аккермана “Основы теоретической логики” в качестве аксиом берутся четыре формулы логики высказываний:

a) a v a ® а

b) а ® a v b

c)a v b ® b v a

d) (а ® b) ® [d v a ® d v b]

Обозначим А и В не отдельные высказывания, которые обозначались а и b, а целые формулы логики высказываний. Например, те, которые выше были приведены в качестве аксиомы. С помощью этих символов можно сформулировать

правила вывода:

а) Правило подстановки. Вместо А (переменного высказывания) везде, где эта буква встречается, можно подставить одну и ту же формулу исчисления высказываний.

b) Схема заключения. Из двух формул А и А ® В получаем новую формулу В.

Формула считается доказуемой, если она или аксиома, или получена из аксиомы с помощью указанных правил или же из таких формул, которые уже доказаны.

Аксиоматическое построение именно логики высказываний обладает рядом серьезных преимуществ в сравнении с аксиоматическим построением других разделов логики. Легко доказать, что система аксиом логики высказываний является непротиворечивой, т. е. что с помощью этих аксиом нельзя доказать одновременно а и ¬а. Приведенные аксиомы логики высказываний являются также независимыми друг от друга, т. е. нельзя вывести хотя бы одну из них из других аксиом. И самое интересное, что система аксиом логики высказываний полна в том смысле, что присоединение к этой системе аксиом какой-либо новой аксиомы, которая не выводима из этой системы аксиом, приводит к противоречию.

Для нас наиболее существенно то, что в рамках логики высказываний можно доказать в качестве теорем любую из тех тавтологий, которые мы рассматривали выше, а также все те тавтологии, которые мы не

рассматривали.

В рамках аксиоматического построения логики высказываний имеется большая литература, к которой мы и отсылаем читателя. Для наших целей, т. е. для практического применения логики высказываний к анализу нашего мышления, сказано достаточно.