- •Курс: «Дискретная математика» Индивидуальное задание
- •Кислицын Александр
- •Оглавление
- •Задание 1
- •1.2.2) Доказательство с помощью диаграмм Эйлера-Вена:
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •1)Не рефлексивное, несимметричное, транзитивное:
- •2)Антирефлексивное, симметричное, нетранзитивное.
- •Задание 6
- •Задание 7
- •2) Эпиморфизмом, но не мономорфизм;
- •Задание 8
- •Задание 9
- •Задание 10
- •Задание 11
Задание 8
Заданы нечеткие множества и , где:
,
на четком множестве . Найти нечеткое множество такое что:
8.1) ;
8.2) ;
а также степень взаимного включения множеств и .
Теоретическая часть:
- нечеткое множество:
, где - функция принадлежности к нечеткому множеству.
Элементы , для которых степень принадлежности к больше нуля – подмножество элементов - носитель .
Логика Заде:
Нечеткое высказывание - предложение или предположение, на основании которого можно судить о степени истинности его в настоящее время.
0 – ложное, 1 – истинное, 0.5 – индифферентно.
Операции нечеткой логики:
- высказывание, степень истинности которого: ;
;
;
;
;
, - нечеткие множества, тогда:
- степень включения в :
- нечетко не включается в .
- нечетко включается в .
- и нечетко равны.
;
;
;
;
Практическая часть:
1.1)
2.1)
;
Степень включения:
1)
Т. о. нечетко не включается в .
2)
Т. о. нечетко не включается в .
Задание 9
Доказать, что если кольцо содержит не более 3-х элементов, то оно коммутативно.
Кольцом называется непустое множество R, для элементов которого определены две бинарные операции - сложение и умножение, причем предполагаются выполненными следующие аксиомы колец (a, b, c О R):
-
Коммутативность сложения: a+ b = b + a.
-
Ассоциативность сложения: a + (b + c) = (a + b) + c.
-
Обратимость сложения (возможность вычитания): уравнение a + x = b имеет решение x = b - a О R.
-
Дистрибутивность умножения относительно сложения: a (b + c) = a b + a c и (b + c) a = b a + c a.
Если ab=ba, то кольцо называется коммутативным
Докажем коммутативность для колец содержащих 1,2,3 элементов:
-
Для кольца содержащего 1 элемент:
Любая циклическая группа G является коммутативной, потому что для любых x и y из G верно, что xy = aman = am + n = an + m = anam = yx.
В теории групп группа называется циклической, если она порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число)
Так как данном случае кольцо содержит всего одно число, то его можно представить как циклическую группу. Отсюда следует что кольцо с одним элементом является коммутативным.
-
Для кольца содержащего 2 элемента:
Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямое произведение своих циклических подгрупп порядков являющихся степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда 'G' не имеет элементов бесконечного порядка. Zmn изоморфно произведению Zm и Zn тогда и только тогда когда m и n взаимнопросты. Следовательно, можно записать абелеву группу G в форме прямого произведения
двумя различными способами:
-
Где числа k1,…,ku степени простых
-
Где k1 делит k2, который делит k3 и так далее до ku.
Мы уже выяснили чуть выше что кольцо состоящее из одного элемента коммутативно. А кольцо состоящее из двух элементов может быть разложено в прямое произведение двух циклических групп порядка 1, следовательно исходя из теоремы о конечной абелевой группе мы можем сказать что кольцо из 2-х элементов тоже коммутативно.
-
Для кольца содержащего 3 элемента:
Исходя из вышеописанных рассуждений мы можем таким же методом разложить кольцо состоящее из 3-х элементов на две циклические группы порядка 2 и 1. Следовательно исходя из теоремы о конечной абелевой группе мы можем сказать что кольцо из 3-х элементов тоже коммутативно.
Мы доказали что кольцо состоящее из не более чем 3-х элементов является коммутативным.