Моделирование случайной величины в случае приближенного задания ее закона распределения

Если аналитическое выражение нелинейного преобразования x=q(y) не удается получить, или оно имеет сложный, "громоздкий" вид, а также, если распределение случайной величины X точно не известно, в задачах моделирования применяют аппроксимацию. Пусть требуется получить случайную величину X с плотностью распределения вероятностей W(x).

Аппроксимацию можно реализовать с помощью конечного ряда

W(x) ≈ P_1.w₁(x),…,P_.iw_i(x),…,P_nw_n(x) =Ŵ(x), (3)

где w_i(x), i=1…n – законы распределения вероятностей n независимых случайных величин; P_i. – коэффициенты разложения; Ŵ(x) – результат аппроксимации требуемой плотности распределения вероятностей. Точность аппроксимации обычно выбирается экспериментально, хотя можно использовать и теорию разложения функции в ряды. Проектируемый программный модуль (генератор) должен вырабатывать псевдослучайную величину с плотностью распределения Ŵ(x).

Блок-схема алгоритма генерирования случайной величины с плотностью распределения Ŵ(x) представлена на рис.3.

Рис.3 Блок-схема алгоритма генерирования случайной величины

С плотностью распределения ŵ(X)

На первом шаге с вероятностью P_i. выбирается один из генераторов случайных величин с плотностью распределения вероятностей _.w_i(x), i=1…n.

На втором шаге выбранный генератор вырабатывает реализацию x случайной величины X, которая используется как выходная.

Докажем, что на выходе получаем случайную величину с законом распределения вероятностей равной Ŵ(x). Вероятность Ŵ(x)dx вычисляется по формуле полной вероятности Ŵ(x)dx = P_1.w₁(x),dx+ …+P_i.w_i(x)dx +…+ P_nw_n(x)dx, где _.w_i(x)dx – интерпретируется как условная вероятность попадания реализации случайной величины X в интервал dx при условии, что выбран генератор с плотностью распределения вероятностей w_i(x).

Обычно плотности w_i(x) принадлежат одному типу и различаются только средними значениями и (при необходимости) – дисперсией.

Аппроксимация с помощью случайных величин с равномерным законом распределения

Рис. 4. Ступенчатая аппроксимация.

В случае аппроксимации с помощью случайных величин с равномерным законом распределения заданная плотность W(x) аппроксимируется ступенчатой функцией Ŵ(x) (рис. 4). Отдельная ступенька описывается функцией P_iw_i(x), где w_i(х)=1/Δ – равномерная на интервале, равном Δ=x_i+1+Δ/2–(x_i+Δ/2), плотность распределения вероятностей случайной величины X со средним значением, равным X_i. Высота прямоугольника, изображающего функцию P_iw_i(x), равна W(х_i), а площадь этого прямоугольника равна P_i, так как.

=P_i=W(x_i )Δ (интеграл =1).

Рассмотрим способ нахождения величин P_i .

Поскольку , то =1, и, следовательно, . Отсюда Δ = и P_i= .

Значения P_i инвариантны к масштабу функции W(х) по оси ординат, т.е., если взять функцию kW(х), где k произвольное положительное число, то значения P_i не изменятся. Поэтому значения W(х_i) можно измерять, например, количеством клеток подходящего размера на листе бумаги, на котором изображен график плотности W(х).

Если в библиотеке ЭВМ имеется генератор случайной величины у с равномерным законом распределения на интервале (0, 1), то случайную величину X с законом распределения w_i(x), равномерным на интервале можно получить в результате следующего преобразования: х = у + (i-1), где номер интервала i совпадает с номером генератора, случайно выбираемым с вероятностью P_i.