Генерирование случайных чисел с заданным законом распределения

Описание законов распределения вероятностей случайных величин осуществляется при помощи функции распределения (интегральной функции распределения) или плотности распределения вероятностей , которые связаны между собой соотношениями:

; .

Напомним, что функция распределения вероятностей в точке рана вероятности наступления события: «Значение в результате реализации случайной величины X оказалось строго меньше значения »¹:

.

Плотность распределения вероятностей характеризует вероятность попадания значения случайной величины в ту или иную область оси абсцисс. Вероятность попадания реализации аналоговой случайной величины в точку, очевидно, равна нулю, вероятность же попадания в интервал [a,b] (пусть сколь угодно малый), имеет определенную величину². С учетом определения плотности распределения вероятностей запишем:

.

Включение или не включение конечных точек в интервал интегрирования несущественно в силу сказанного ранее.

Датчики (генераторы) случайных (псевдослучайных) чисел с заданным законом распределения вероятностей, т. е. с заданной функцией плотности распределения вероятностей W(x) либо интегральной функцией распределения применяются исключительно широко в криптографии, стеганографии, при математическом (имитационном) моделировании сложных технических систем, при реализации компьютерных игр и т.д. Особенно часто необходимость в подобных датчиках возникает при исследовании или проектировании информационных систем, систем массового обслуживания.

Существует три способа получения реализаций последовательностей случайных чисел:

• выбор из таблиц случайных чисел (неудобство этого метода достаточно очевидно);

• использование физических датчиков (что также является сложной задачей, поскольку для каждого закона распределения потребуется изготовление собственного физического датчика; кроме того, в задачах защиты информации часто требуются псевдослучайные числа, а физические датчики обычно являются генераторами случайных чисел);

• генерирование псевдослучайных последовательностей чисел на ЭВМ.

Данная лабораторная работа посвящена изучению третьего способа генерирования случайных чисел.

Специфика всякой решаемой задачи защиты информации или моделирования требует своего закона распределения случайной величины, т.е. своей функции W(x) либо F(х). Разрабатывать датчики случайных чисел "на все случаи жизни" нерационально и практически невозможно. Отсюда необходимость создания некоторого универсального, простого в реализации генератора случайных чисел с достаточно простым законом распределения, используя который можно было бы получать случайные числа с законом распределения вероятностей, соответствующим решаемой задаче. В качестве такого генератора чаще всего используется датчик псевдослучайных чисел, равномерно распределенных в диапазоне (0, 1), реализуемый программно на ЭВМ.

Существуют три группы методов генерирования случайных чисел с заданным законом распределения с использованием последовательности случайных чисел, равномерно распределенных в диапазоне (0,1):

1. точные — методы нелинейного преобразования и метод Неймана;

2. приближенные — метод кусочной аппроксимации, метод замены непрерывных распределений соответствующими дискретностями, метод численного решения уравнения при нелинейном преобразовании;

3. специальные — методы, основанные на свойствах преобразований случайных величин.

Предлагаемая лабораторная работа посвящена изучению этих методов.