Связанные понятия

• Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то

Если в векторной форме, то

• Плоскости параллельны, если

 или  (Векторное произведение)

• Плоскости перпендикулярны, если

 или . (Скалярное произведение)

• Пучок плоскостей — уравнение любой П., проходящей через линию пересечения двух плоскостей

где α и β — любые числа, не равные одновременно нулю.

4 Прямая и плоскость

Взаимное расположение прямых и плоскостей

Ключевые слова: прямая, плоскость, перпендикуляр, наклонная к плоскости, двугранный угол, линейный угол, проекция точки, отрезка

Теоремы

•  Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

• Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

• Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

• Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпердикулярна и самой наклонной.

• Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

• Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.

• Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

• Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от этой плоскости.

5 Кривые второго порядка

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов  отличен от нуля

Классификация кривых второго порядка Невырожденные кривые

Кривая второго порядка называется невырожденной, если  Могут возникать следующие варианты:

• Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если 

  • эллипс — при условии D > 0 и ΔI < 0;

    • частный случай эллипса — окружность — при условии I² = 4D или a₁₁ = a₂₂,a₁₂ = 0;

  • мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) — при условии ΔI > 0;

  • гипербола — при условии D < 0;

• Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если ΔI = 0

  • парабола — при условии D = 0.

Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты:

вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D > 0;

пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D < 0;

вырожденная парабола — при условии D = 0:

пара вещественных параллельных прямых — при условии B < 0;

одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии B = 0;

• пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии B > 0.