]Сложение коллинеарных скользящих векторов

Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные вектора. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы  и , расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы  и , расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы  и ,  и  пересекаются. Поэтому определены векторы

Прямые, на которых расположены векторы  и , пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы  и  равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы  и  образуют пару (векторов).

Таким образом, под суммой векторов  и  можно понимать сумму векторов  и , и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы  и  не образуют пару.

Сложение векторов - элементов линейного пространства

Пусть в линейном пространстве выбран базис  и в нём представлены вектора вектора , тогда суммой векторов  будет называется следующий вектор: .

Умножение вектора на число

Произведением вектора  и числа λ называется вектор, обозначаемый  (или ), модуль которого равен , а направление совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если . Если же , или вектор  нулевой, тогда и только тогда произведение  — нулевой вектор.

• Обычно принято в записи произведения числа и вектора число записывать слева, но в принципе допустим и обратный порядок, хотя все же обычное соглашение состоит в том, чтобы его избегать, если нет прямой необходимости. Так или иначе, .

Из определения произведения вектора на число легко вывести следующие свойства:

1. если , то . Наоборот, если , то при некотором λ верно равенство ;

2. всегда °, то есть каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Скалярное произведение

Основная статья: Скалярное произведение

Функция  (в другом обозначении ), ставящая любым двум векторам  в соответствие число и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1. Линейность по первому аргументу: , где α,β - произвольные числа

2. Эрмитова симметричность:  (в случае если вектора определены над полем действительных чисел, то  )

3. Положительная определённость:  тогда и только тогда, когда  ,

называется скалярным произведением вектора  на вектор .

Угол ϕ между векторами  определяется, как  Иногда, когда не известны координаты вектора, для нахождения скалярного произведения удобнее использовать эту формулу.

Геометрически скалярное произведение есть произведение длины одного из сомножителей на ортогональную проекцию другого на направление первого (или наоборот). Скалярное произведение какого-то вектора  с единичным вектором есть ортогональная проекция вектора  на направление единичного вектора.