7. Ряды Фурье
Система непрерывных на отрезке [a; b] функций
называется ортонормированной, если
Примером ортонормированных систем являются:
1) , , , , , . . . ,, , . . .
на отрезке [– ; ];
2) , , , , , ... , , , ...
на отрезке [a; b ]; здесь T = b – a, ;
3) система полиномов Лежандра
, , n = 1, 2, 3, ...
на отрезке [–1; 1 ].
Имеется множество других примеров ортонормированных систем функций. Ортонормированные системы функций играют роль ортонормированного базиса в некотором пространстве Гильберта функций, определённых на промежутке [a, b ]. Любой функции f(x) из этого пространства ставится в соответствие ряд
~, (12)
где Ck находится по формуле
, k = 0, 1, 2, .... (13)
При этом коэффициенты Ck, вычисляемые по формулам (13), называются коэффициентами Фурье функции f(x), а ряд (12) – рядом Фурье функции f(x). Важную роль играют полные ортонормированные системы функций. Говорят, что функция f(x), определённая на промежутке [a; b], является функцией с интегрируемым квадратом, если
существует (конечен).
Теорема 13. Пусть – ортонормированная система функций на промежутке [a; b]. Следующие утверждения равносильны:
для любой функции f(x) с интегрируемым квадратом справедливо равенство
,
где Ck – коэффициенты Фурье по системе ;
для любой функции f(x) с интегрируемым квадратом
(при выполнении этого равенства говорят, что ряд Фурье функции f(x) сходится к f(x) в среднем квадратичном);
если f(x) – функция с интегрируемым квадратом и для любого k , то .
Ортонормированная система функций, обладающая любым из условий 1), 2), 3) (а следовательно, и двумя другими), называется полной.
Приведённые выше примеры ортонормированных систем функций обладают свойством полноты.
Если – полная ортонормированная система функций, то для любой функции с интегрируемым квадратом на [a, b] знак «~» в формуле (12) можно в некотором смысле заменить на «=» (фразу «в некотором смысле» проясняет пункт 2) в формулировке теоремы 13).
Будем говорить, что функции f(x) и g(x) с интегрируемым квадратом на [a, b] равны в смысле среднеквадратичного отклонения, если
,
и будем при этом писать f(x) =c.o. g(x).
Теорема 14. Пусть – ортонормированная система функций на [a; b] и пусть f(x) и g(x) – функции с интегрируемым квадратом на [a;b]. Тогда f(x) = c.o. g(x) на [a; b] в том и только в том случае, если коэффициенты Фурье функций f(x) и g(x) совпадают.
Чаще других применяют тригонометрическую ортонормированную систему
, , , , , ... , ,, ...
на [a; b], T = b – a, . Ряд Фурье по системе этих функций обычно называют тригонометрическим рядом Фурье:
,
, n = 0, 1, 2, ... ,
, n = 1, 2, 3, ....
Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a; b], если этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов , в каждом из которых f(x) монотонна. Аналогично определяется понятие кусочно-непрерывной функции при этом слово «монотонность» заменяется на «непрерывность».
Теорема 15 (Дирихле). Если функция f(x), определённая на отрезке [a;b], является на нём кусочно-непрерывной, кусочно-монотонной и ограниченной, то её тригонометрический ряд сходится во всех точках отрезка [a;b] к некоторой функции S(x). Кроме того:
если x – точка непрерывности функции f(x), то S(x) = f(x);
если x – точка разрыва (устранимая или первого рода) функции f(x), то
;
.
Пример 16. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию
Решение. Заданная функция кусочно-непрерывна, кусочно-монотонна и ограничена на [–2, 2], следовательно, её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье. Найдём коэффициенты Фурье. Имеем
T = 4, ,
,
, n = 1, 2, 3, ... ,
.
Обозначим сумму ряда через .
.
Тогда:
Пример 17. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию
, –1 < x < 2.
Решение. Данная функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Ввиду непрерывности f(x) на (–1; 2)
.
Имеем T = 3, . Найдём коэффициенты an и bn:
.
,
n = 1, 2, 3, ... ,
.
Таким образом,
, –1 < x < 2,
где an, bn, n 1 найдены выше.
Если функция f(x), определённая на интервале и удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле, является чётной, то в её разложении в ряд Фурье будут участвовать лишь косинусы:
,
то есть все окажутся равными нулю. Если же f(x) является нечётной функцией на , то её ряд Фурье будет содержать лишь синусы:
.
Если ставится задача разложить функцию f(x), определённую на интервале в ряд по косинусам, то её доопределяют на интервале чётным образом и разлагают новую функцию f1(x) в тригонометрический ряд Фурье на интервале ; этот ряд Фурье будет содержать лишь косинусы. Ввиду того, что f(x) и f1(x) совпадают на , при этом получается разложение функции f(x) в ряд по косинусам
,
где .
Аналогично, если требуется разложить функцию f(x), определённую на в ряд по синусам, то f(x) продолжают на нечётным образом и разлагают новую (нечётную) функцию f2(x) в тригонометрический ряд Фурье на интервале ; этот ряд будет содержать лишь синусы. В результате получим разложение f(x) в ряд по синусам:
, где .
Пример 18. Разложить функцию , определённую на интервале , в ряд Фурье: а) по косинусам; б) по синусам.
Решение. а) , .
Запишем разложение f(x) в ряд по косинусам:
, 0 < x < .
б) .
Отсюда получаем разложение f(x) в ряд Фурье по синусам:
, 0 < x < .
Пример 19. Разложить на интервале (0; 3) в тригонометрический ряд Фурье только по
косинусам и только по синусам функцию f(x), заданную графиком.
Решение. Найдём аналитическое выражение заданной функции, а затем поступим так же, как в предыдущем примере.
Находим коэффициенты an и bn:
,
, n = 1, 2, 3, ... ,
.
Отсюда получаем разложение f(x) в ряд Фурье только по косинусам
, 0 < x < 3
и разложение f(x) в ряд Фурье только по синусам
, 0 < x < 3.
Ещё одним важным примером ортонормированной системы функций является система функций
определённых на отрезке [a;b]; здесь, как и прежде T = b – a, . Любую функцию, удовлетворяющую условиям теореме Дирихле, можно разложить в ряд Фурье по этой системе (при этом справедлива теорема Дирихле):
. (14)
Коэффициенты Фурье находятся по формуле
.
Ряд (14) называется рядом Фурье в комплексной форме.
Пример 20. Разложить функцию f(x) = x на интервале (0; ) в ряд Фурье в комплексной форме.
Решение. В нашем случае T = , = 2. Имеем
,
.
Таким образом,
.
Задание 11.1
Для заданного ряда: а) найдите сумму первых 4-x членов ряда; б) докажите сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости; в) найдите сумму ряда.
1) , 4) ,
2) , 5) ,
3) , 6) ,
7) , 19) ,
8) , 20) ,
9) , 21) ,
10) , 22) ,
11) , 23) ,
12) , 24) ,
13) , 25) ,
14) , 26) ,
15) , 27) ,
16) , 28) ,
17) , 29) ,
18) , 30) .
Задание 11.2
Исследуйте сходимость ряда с помощью признаков сравнения.
1) , 3) ,
2) , 4) ,
5) , 18) ,
6) , 19) ,
7) , 20) ,
8) , 21) ,
9) , 22) ,
10) , 23) ,
11) , 24) ,
12) , 25) ,
13) , 26) ,
14) , 27) ,
15) , 28) ,
16) , 29) ,
17) , 30) .
Задание 11.3
Исследуйте сходимость ряда с помощью признаков сравнения.
1) , 15) ,
2) , 16) ,
3) , 17) ,
4) , 18) ,
5) , 19) ,
6) , 20) ,
7) , 21) ,
8) , 22) ,
9) , 23) ,
10) , 24) ,
11) , 25) ,
12), 26) ,
13) , 27) ,
14) , 28) ,
29) , 30) .
Задание 11.4
Исследуйте сходимость ряда с помощью признака Даламбера.
1) , 13) ,
2) , 14) ,
3) , 15),
4) , 16) ,
5) , 17) ,
6) , 18) ,
7) , 19) ,
8) , 20) ,
9) , 21) ,
10) , 22) ,
11) , 23) ,
12) , 24) ,
25) , 28) ,
26) , 29) ,
27) , 30) .
Задание 11.5
Исследуйте сходимость ряда с помощью признака Даламбера.
1) , 11) ,
2) , 12) ,
3) , 13),
4) , 14) ,
5) , 15) ,
6) , 16) ,
7) , 17) ,
8) , 18) ,
9) , 19) ,
10) , 20) ,
21) , 26) ,
22) , 27) ,
23) , 28) ,
24) , 29) ,
25) , 30) .
Задание 11.6
Исследуйте сходимость ряда с помощью радикального признака Коши.
1) , 9) ,
2) , 10) ,
3) , 11) ,
4) , 12) ,
5) , 13) ,
6) , 14) ,
7) , 15) ,
8) , 16) ,
17) , 24) ,
18) , 25) ,
19) , 26) ,
20) , 27) ,
21) , 28) ,
22) , 29) ,
23) , 30) .
Задание 11.7
Исследуйте сходимость ряда с помощью радикального признака Коши (в некоторых случаях следует воспользоваться тем, что ).
1) , 5) ,
2) , 6) ,
3) , 7) ,
4) , 8) ,
9) , 20) ,
10) , 21) ,
11) , 22) ,
12) , 23) ,
13) , 24) ,
14) , 25) ,
15) , 26) ,
16) , 27) ,
17) , 28) ,
18) , 29) ,
19) , 30) .
Задание 11.8
Исследуйте сходимость ряда с помощью интегрального признака Коши.
1) , 3) ,
2) , 4) ,
5) , 18) ,
6) , 19) ,
7) , 20) ,
8) , 21) ,
9) , 22) ,
10) , 23) ,
11) , 24) ,
12) , 25) ,
13) , 26) ,
14) , 27) ,
15) , 28) ,
16) , 29) ,
17) , 30) .
Задание 11.9
Исследуйте ряд на абсолютную и условную сходимость.
1) , 16) ,
2) , 17) ,
3) , 18) ,
4) , 19) ,
5) , 20) ,
6) , 21) ,
7) , 22) ,
8) , 23) ,
9) , 24) ,
10) , 25) ,
11) , 26) ,
12) , 27) ,
13) , 28) ,
14) , 29) ,
15) , 30) .
Задание 11.10
Найдите область сходимости степенного ряда
1), 15) ,
2) , 16) ,
3) , 17) ,
4) , 18) ,
5) , 19) ,
6) , 20) ,
7) , 21) ,
8) , 22) ,
9) , 23) ,
10) , 24) ,
11) , 25) ,
12) , 26) ,
13) , 27) ,
14) , 28) ,
29) , 30) .
Задание 11.11
Запишите три первых ненулевых члена разложения функции f(x) в окрестности указанной точки x0 в ряд Тейлора.
1) ,;
2) ,;
3) ,;
4) ,;
5) ,;
6) ,;
7) ,;
8) ,;
9) ,;
10) ,;
11) ,;
12) ,;
13) ,;
14) ,;
15) ,;
16) ,;
17) ,;
18) ,;
19) ,;
20) ,;
21) ,;
22) ,;
23) ,;
24) ,;
25) ,;
26) ,;
27) ,;
28) ,;
29) ,;
30) ,;
Задание 11.12
Разложите функцию f(x) в окрестности указанной точки x0 в ряд Тейлора, пользуясь разложениями основных элементарных функций.
1) ,;
2) ,;
3) ,;
4) ,;
5) ,;
6) ,;
7) ,;
8) ,;
9) ,;
10) ,;
11) ,;
12) ,;
13) ,;
14) ,;
15) ,;
16) ,;
17) ,;
18) ,;
19) ,;
20) ,;
21) ,;
22) ,;
23) ,;
24) ,;
25) ,;
26) ,;
27) ,;
28) ,;
29) ,;
30) ,.