3. Знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница
Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные.
Знакочередующимся рядом называется числовой ряд вида
, (3)
где .
Теорема 7 (признак Лейбница). Пусть дан знакочередующийся ряд (3) и пусть выполнены два условия: 1) 2). Тогда ряд (3) сходится. Более того, если rn – n-й остаток ряда, то при выполнении условий 1), 2) для знакочередующегося ряда .
Пример 8. Исследовать на сходимость числовой ряд .
Решение. Данный ряд является знакочередующимся. Обозначим . Проверим выполнение условий 1), 2) теоремы 7.
1) , , что означает, что первое условие выполнено.
2) – выполнено и второе условие.
Следовательно, данный ряд сходится.
Числовой ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов:
. (4)
Если же ряд (1) сходится, а ряд (4) расходится, то говорят, что ряд (1) сходится условно.
Теорема 8. Если ряд (1) абсолютно сходится, то он сходится.
4. Функциональные ряды
Функциональным рядом называется выражение вида
, (5)
членами которого являются функции с общей областью определения. Совокупность всех значений переменного x, для которых сходится функциональный ряд (5), называется областью сходимости этого ряда. Функция
,
определённая в области сходимости ряда (5), называется суммой функционального ряда (5). Абсолютная сходимость функционального ряда определяется так же, как и абсолютная сходимость числового ряда. Область абсолютной сходимости функционального ряда можно находить с помощью признаков Даламбера и Коши.
Пример 9. Найти область абсолютной сходимости функционального ряда
, .
Решение. Для данного ряда
, .
Найдём предел
=.
(мы здесь воспользовались тем, что ). Согласно радикальному признаку Коши, ряд сходится, если , то есть . Решение последнего неравенства имеет вид: х>13/4. Учитывая область определения членов функционального ряда, получаем, что областью абсолютной сходимости является пересечение множеств (13/4; + ) и (3; + ), т.е. (13/4; + ).
При получим числовой ряд . Согласно признаку Лейбница, он сходится. Таким образом, областью сходимости исходного ряда является множество .
Говорят, что функциональный ряд (5) сходится в области D равномерно к функции S(x), если для любого существует такое , что для всех и для любого справедливо неравенство
(или ).
Теорема 9 (признак Вейерштрасса равномерной сходимости). Пусть функциональный ряд (5) сходится в области D и пусть существует такой сходящийся числовой ряд , , что для любого n и любого . Тогда ряд (5) сходится равномерно и абсолютно в D.
Ряд в теореме 9 называется мажорирующим рядом для функционального ряда (5).
5. Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
. (6)
Числа называются коэффициентами ряда.
Интервалом сходимости ряда (6) является интервал . Число R, называемое радиусом сходимости, может быть найдено с помощью формулы
или .
При этом R может равняться 0 или + . Степенной ряд может сходиться, может расходиться на концах интервала сходимости. Таким образом, областью сходимости степенного ряда (6) могут быть интервал, полуинтервал или замкнутый промежуток с центром в точке .
Если степенной ряд (6) в интервале сходится к функции f(x), то будем писать
.
Степенной ряд сходится в любом замкнутом промежутке, принадлежащем интервалу сходимости, абсолютно и равномерно.
В интервале сходимости степенного ряда его можно дифференцировать почленно сколько угодно раз, то есть
,
,
,
при этом интервал сходимости степенного ряда, получающегося из исходного путём почленного дифференцирования, остаётся тем же.
Степенной ряд допускает и почленное интегрирование в интервале сходимости, то есть если – интервал сходимости степенного ряда (6) и , то
.
Пример 10. Найти область сходимости степенного ряда:
а); б) .
Решение. а) Ряд является степенным (так как ), поэтому он сходится абсолютно в интервале сходимости. Обозначим , тогда . Согласно признаку Даламбера, для абсолютной сходимости ряда достаточно потребовать, чтобы (при ряд будет расходиться). Имеем
.
Наш ряд сходится при и расходится при . Решим первое неравенство: ; –3 < 2x – 1 < 3; –2 < 2x < 4;
–1 < x < 2. Таким образом, (–1; 2) является интервалом сходимости ряда. Исследуем поведение ряда на концах интервала.
При x= –1 получаем числовой ряд . Это знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница: , . Поэтому ряд сходится, и точка x = –1 принадлежит области сходимости.
При x = 2 получаем числовой ряд . Это гармонический ряд, и он расходится. Следовательно, точка x = 2 не принадлежит области сходимости степенного ряда.
Итак, областью сходимости степенного ряда является полуинтервал [–1; 2).
б) Ряд является степенным. Обозначим
, тогда .
Имеем
.
Ряд будет сходиться при или . Исследуем ряд на сходимость на концах интервала, то есть при .
При получаем числовой ряд , являющийся знакочередующимся. Он сходится по признаку Лейбница, так как абсолютные величины его членов монотонно убывают и . Следовательно, точка принадлежит области сходимости.
При получаем числовой ряд и он тоже сходится по признаку Лейбница.
Таким образом, областью сходимости нашего степенного ряда является отрезок .