2. Центральная предельная теорема
Это, на самом деле,
группа теорем, устанавливающих связь
с нормальным законом распределения
величины
с
функцией плотности распределения
вероятности (рис. 9.1):
,
где
,
параметры распределения
Рис. 9.1. Плотность распределения нормальной случайной величины.
Приведём формулировку одной из таких теорем (приводим без доказательства).
Теорема Ляпунова. Если:
а)
- независимые случайные величины;
б) существуют
и
для всех
;
в) существуют
величины
и
,
то закон
распределения величины
(при
)
неограниченно приближается к нормальному
закону с математическим ожиданием
и дисперсией
,
т.е.
,
где
есть известная нам функция Лапласа.
Смысл теоремы состоит в том, что чем сложней случайная величина, чем больше факторов, влияющих на ее значение, тем ближе она к нормально распределенной случайной величине.
Следствие.
Если независимые случайные величины
имеют одинаковые математические ожидания
и дисперсии
,
,
,
и существуют
величины
то закон распределения величины
при
неограниченно приближается к нормальному
закону с теми же параметрами
и
.
________________________
Пример.
Пусть
- потребление электроэнергии жильцами
квартиры номер
в многоквартирном, многоэтажном доме.
Тогда по теореме Чебышева среднее
потребление:
,
а по теореме Ляпунова величина:
является случайной
величиной, имеющей нормальный закон
распределения (т.е. будет отличаться от
величины
,
как нормально распределённая случайная
величина).
Пример.
Представим величину Бернулли
(количество наступления события
в серии из
испытаний)
в виде суммы независимых величин, так
называемых «индикаторов» каждого из
испытаний:
.
Здесь
-
однородные случайные величины, -
индикаторы испытания:
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
,
.
Тогда по свойствам
математического ожидания и дисперсии
случайная величина Бернулли
будет иметь следующие параметры:
,
,
,
а в соответствии
с центральной предельной теоремой при
большом количестве испытаний (
),
она будет иметь распределение, близкое
к нормальному, с параметрами
и
:
.
Вероятность наблюдения количества событий в испытаниях вычисляется по формулам для нормального распределения:
,
где
функция Лапласа,
,
.
Тем самым доказывается
интегральная
формула Муавра-Лапласа.
3. Теорема Бернулли
Важнейшее методологическое значение для теории вероятностей и математической статистики имеет следующая теорема о частоте события. В серии испытаний Бернулли частоту события определим как:
Эта случайная
величина имеет математическое ожидание
,
дисперсию
и при больших количествах испытаний
имеет нормальное распределение. Тогда,
в соответствии с формулами Муавра –
Лапласа, величина отклонения частоты
и вероятности события имеет следующую
вероятность
для любого
.
Таким образом, с ростом количества испытаний частота события стремится к его вероятности.