Лекция № 6

Непрерывные случайные величины

1. Функция распределения непрерывной и дискретной случайной величины

Начнём с определения.

Определение. Непрерывной случайной величиной называется переменная, которая может принимать случайным образом любые значения в некотором интервале числовой оси.

Обозначение. Обозначать непрерывные случайные величины будем латинскими буквами , , ,...

_______________

Пример. Пусть между двумя населёнными пунктами и протянута телефонная линия, расстояние между ними равно . Тогда точку возможного обрыва линии будем характеризовать случайной величиной , которая принимает значения на интервале от нуля до .

Тогда точка обрыва, точка (то есть случайная величина примет значение ), не может являться вероятностной характеристикой произошедшего обрыва: вероятность . На самом деле, по геометрической вероятности:

,

где - длина точки , - расстояние между пунктами и . Но ! Как охарактеризовать с вероятностной точки зрения линию обрыва?

Непрерывную случайную величину характеризуют с помощью функции распределения.

Функцией распределения случайной величины называется функция , выражающая для каждого числа вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение, меньшее числа :

.

Функция распределения определена для всех : , а значения принимает на отрезке , т.к. вероятность любого события находится именно в этих пределах.

Функцией распределения можно характеризовать (в равной степени) и дискретные случайные величины.

_______________

Пример. Пусть - число попаданий в цель при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна (пример из предыдущей лекции). Найти и изобразить функцию распределения этой случайной величины .

Решение. В предыдущей лекции мы нашли, что закон распределения имеет вид:

Найдём функцию распределения . При значении функция , т.к. событие можно составить из пяти несовместных событий:

, , , , ,

вероятности которых в сумме дают . И это справедливо для всех , таких, что . Поэтому при значении .

Но как только принимает значение , сразу из перечисленного выше множества событий исключается событие (т.к. ). Поэтому:

.

И так будет для всех , таких что . Поэтому для всех , таких что .

И так далее.… До значения , которому не соответствует ни одно из событий (т.е. переменная принимает значения от до с шагом равным ). Поэтому для всех значений , таких, что , значение функции распределения равно .

Итак, для рассматриваемой здесь случайной величины функция распределения имеет вид:

Графиком функции распределения является «набор из горизонтальной линии и горизонтальных стрелок» рис. 6.1, которые говорят о том, что предел справа у функции не достигается в пяти случаях:

Рис. 6.1. Функция распределения дискретной случайной величины.