4. Моменты распределения случайной величины

Для описания распределения случайной величины иногда недостаточно только знания математического ожидания и дисперсии. Для более полного описания необходимо ввести еще ряд числовых характеристик распределения, и такими характеристиками могут быть моменты высших порядков.

А именно, начальный теоретический момент порядка

и/или центральный теоретический момент порядка

.

Можно заметить, что, , , …и т.д., а так же

, , , …и т.д.

Доказано, что начальные и центральные моменты могут быть выражены друг через друга, а бесконечная последовательность моментов полностью описывает распределение случайной величины, то есть восстанавливает функцию распределения в виде ряда. В технических приложениях часто используются моменты 3-го и 4-го порядка, где они обезразмерены и имеют специальные названия:

- асимметрия случайной величины,

- эксцесс случайной величины.

Асимметрия случайной величины равна нулю у случайной величины симметричной относительно своего математического ожидания, а ее значение характеризует степень асиметрии ее распределения. Эксцесс равен нулю у нормальной случайной величины, а его значение характеризует степень отклонения от нормального закона распределения. Смысловое значение асиметрии («скошенности») и эксцесса («островершинности») иллюстрируется на рис.8.2.

Рис. 8.2. Геометрическая иллюстрация понятий асимметрии и эксцесса.

Лекция № 9

Закон Больших Чисел (ЗБЧ)

Закон Больших Чисел (ЗБЧ) представляет собой ситуацию, когда совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, независящему от случая. Все основные формулы и выводы следующего раздела этих лекций (математической статистики) основаны на результатах Закона Больших Чисел.

Мы рассмотрим здесь только некоторые важные теоремы, являющиеся яркими представителями в соответствующих областях и применяемые ниже, хотя число похожих теорем больше сотни (при самых различных предположениях, подходящих для разнообразных жизненных ситуаций).

1. Теорема Чебышева

Прежде всего, посмотрим (приводим без доказательства) на теорему П.Л. Чебышева (1821 – 1894). Он унаследовал крупное, процветающее поместье. Но, чтобы составить состояние своим сёстрам, необходимое как приданое (надо сказать, что в то время состояние переходило лишь по мужской линии), он играл на бирже. И очень успешно (и сумел-таки составить выгодную компанию своим сестрам и выдать их замуж), а в игре ему помогали его научные результаты!

Теорема Чебышева. Пусть:

а) - независимые случайные величины;

б) существуют и для всех ;

в) (при некотором положительном ) для всех .

Тогда:

при любом .

Следствие. Если независимые случайные величины имеют одинаковые математические ожидания

, ,

и

, ,

то

.

То есть (в общем случае) среднее арифметическое в пределе не отличается от математического ожидания (с вероятностью )!

________________________

Пример. Посмотрим на ситуацию в страховом бизнесе. Пусть - убыток какого-то страхователя (того, кто страхуется) при наступлении страхового случая. Понятно, что все эти убытки имеют примерно одно и же математическое ожидание

.

Тогда (по следствию из теоремы Чебышева) средний убыток всех страхователей:

есть величина постоянная!