Бесконечно малые величины
Определение.
Функция
называется бесконечно малой (б.м.в.)
при
(
),
если
.
Основные свойства бесконечно малых величин:
1.
функция
является б.м.в. при
.
2.
Сумма, разность и произведение двух
б.м.в. при
являются б.м.в. при
.
3.
Если функция
является б.м.в. при
,
а функция
ограничена в некоторой окрестности
точки
,
то произведение
является б.м.в. при
.
Определение.
Пусть
и
– две б.м.в. при
и
в некоторой окрестности
и существует
.
Тогда:
1.
если
,
то
называют бесконечно малой более высокого
порядка, чем
при
,
и пишут
при
(читается:
равна «о» малое от
);
2.
если
,
то
называют бесконечно малой более высокого
порядка, чем
при
,
и пишут
при
(читается:
равна «о» малое от
);
3.
если
(
),
то
и
называют бесконечно малыми одного
порядка при
и пишут
при
.
В частности, если
,
то
и
называют эквивалентными бесконечно
малыми при
и пишут
при
.
Основные эквивалентности при
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Сравнить
бесконечно малые
и
при
.
Решение. Для того, чтобы сравнить бесконечно малые, необходимо найти предел их отношения:
.
Итак,
является бесконечно малой более высокого
порядка, чем
,
при
.
Пример 2. Найти
предел, используя эквивалентные
бесконечно малые функции
.
Решение. Имеем
неопределенность вида
.
Для ее раскрытия воспользуемся теоремой
о замене бесконечно малых функций
эквивалентными им бесконечно малыми.
Так как
и
,
то
.
Задания для самостоятельной работы
37. Сравнить бесконечно малые функции.
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
ж)
|
з)
|
|
и)
|
к)
|
и
при
;
и
при
;
и
при
;
и
при
;
и
при
;
и
при
;
и
при
;
и
при
;
и
при
;
и
при
. 38. Вычислить пределы, используя принцип замены эквивалентных бесконечно малых функций.
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
ж)
|
з)
|
|
и)
|
к)
|
,
,
,
;
,
,
,
;
,
,
,
;
,
,
,
;
,
,
,
;
,
,
,
;
,
,
,
;
,
,
,
;
,
,
,
;
,
,
,
.Задания для самостоятельной работы
19. Доказать равенство.
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
ж)
|
з)
|
|
и)
|
к)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
20. Вычислить
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
ж)
|
з)
|
|
и)
|
к)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
; 21. Вычислить
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
ж)
|
з)
|
|
и)
|
к)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
. 22. Вычислить
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
ж)
|
з)
|
|
и)
|
к)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
. 23. Вычислить
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
ж)
|
з)
|
|
и)
|
к)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
. 24. Вычислить
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
ж)
|
з)
|
|
и)
|
к)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
. 25. Вычислить
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
ж)
|
з)
|
|
и)
|
к)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
. 26. Вычислить
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
ж)
|
з)
|
|
и)
|
к)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
. 27. Вычислить
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
ж)
|
з)
|
|
и)
|
к)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
. 28. Вычислить
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
ж)
|
з)
|
|
и)
|
к)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
. 29. Вычислить
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
ж)
|
з)
|
|
и)
|
к)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
. 30. Вычислить
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
ж)
|
з)
|
|
и)
|
к)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
. 31. Вычислить
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
ж)
|
з)
|
|
и)
|
к)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
. 32. Вычислить
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
ж)
|
з)
|
|
и)
|
к)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
. 33. Вычислить
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
ж)
|
з)
|
|
и)
|
к)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
. 34. Вычислить
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
ж)
|
з)
|
|
и)
|
к)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
. 35. Вычислить
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
ж)
|
з)
|
|
и)
|
к)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
. 36. Вычислить
|
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
ж)
|
з)
|
|
и)
|
к)
|
;
;
;
;
;
;
;
;