Замечательные пределы

Рассмотрим несколько пределов, которые носят такое название, поскольку они широко используются при решении как теоретических, так и практических задач.

а) Первый замечательный предел:

.

б) Второй замечательный предел:

,

здесь символом «» обозначено иррациональное число

Равенство также называют вторым замечательным пределом.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа в задаче о сложных процентах. Число есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в , а еще через полгода – в (ден. ед.). Если присоединение делать каждые года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

(ден. ед.),

(ден. ед.),

(ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

.

К замечательным пределам относят равенства

, в частности, ,

, в частности, ,

.

4. Односторонние пределы

Понятие предела функции в точке можно разложить на две составляющие части: предел функции , когда , оставаясь меньше , т.е. слева, и предел функции , когда , оставаясь больше , т.е. справа. В этом случае говорят об односторонних пределах, обозначая их или (для левостороннего предела) и или (для правостороннего предела).

Определение. Пусть точка является предельной точкой для множества . Тогда число называется пределом слева функции при , если

.

Определение. Пусть точка является предельной точкой для множества . Тогда число называется пределом справа функции при , если

.

Сравнение этих определений и определения предела функции в точке показывает, что если функция имеет предел в точке , то этот предел одновременно является ее левосторонним и правосторонним пределами в этой точке.

Связь между пределом и односторонними пределами функции устанавливает следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы существовал необходимо и достаточно, чтобы существовали односторонние пределы и , и =. В этом случае общее значение односторонних пределов равно значению предела функции: .

Замечание. Предел элементарной функции при , где принадлежит области её определения, равен значению функции при . В этом случае говорят, что функция непрерывна в точке .