16 Билет: аксиома стереометрии и следствие из них.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

Замечание. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

17 Билет: взаимное расположение прямых в пространстве прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости.

Возможно два случая взаимного расположения прямой и плоскости пространстве:

1)Параллельны 2)Пересекаться

Опр. Пряма и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются.

Опр. Пряма и плоскость не параллельны, значит пересекаются.

Перпендикулярность прямой и плоскости будет являться частным случаем когда прямая и плоскость пересекаются под 90 .

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

18 Билет: взаимное расположение плоскостей. Признак параллельности.

Свойства параллельных плоскостей:

1) Любая плоскость считается параллельной самой себе (рефлексивность).

2) Если плоскость α параллельна плоскости β, то и плоскость β параллельна плоскости α (симметричность).

3) Если плоскость α параллельна плоскости β, а плоскость β параллельна плоскости γ то плоскость α параллельна плоскости γ (транзитивность).

Признак параллельности двух плоскостей:

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двумя прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

19 Билет: перпендикулярность плоскостей. Признак перпендикулярности плоскостей

Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними прямой.

Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство: Пусть - плоскость , b - перпендикулярная ей прямая, - плоскость проходящая через прямую b, и с - прямая по которой пересекаются плоскости и . Докажем, что плоскости и перпендикулярны.

Проведем в плоскости через точку пересечения прямой b с плоскостью прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и b плоскость . Она перпендикулярна прямой с, так как прямые а и b перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. Теорема доказана.

20 Билет: перпендикулярная и наклонная. Теорема и обратная о 3х перпендикулярах

О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ.

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.

И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Доказательство: Пусть АВ - перпендикуляр плоскости , АС - наклонная и с - прямая в плоскости , проходящая через основание С.

Проведем прямую СA1, параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости . Проведем через прямые АВ и СA1 плоскость . Прямая с перпендикулярна прямой СA1. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости , а значит, и прямой АС.

АНАЛОГИЧНО. Если прямая с перпендикулярна наклонной АС то она, будучи перпендикулярна и прямой СA1 перпендикулярна плоскости , а значит, и проекции наклонной СВ. Теорема доказана.

Перпендикуляром, опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.