- •1 Билет: Функции. Понятие. Множество значений. Область определения. Свойства функции.
- •2 Билет: простейшие преобразования графика функции
- •3 Билет: обратная функция.Область определения. Множество значения
- •4 Билет: степенная функция , показательная и логарифная функция. Их свойства и графики
- •5 Билет: тригонометрические функции из свойства и графики.
- •6 Билет: последовательности. Способы задания. Понятия о пределе последовательности.
- •7 Билет: предел функции. Свойства пределов. Непрерывность функции.
- •8 Билет: понятие производной. Ее физические и геометрические свойства
- •9 Билет: геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.
- •16 Билет: аксиома стереометрии и следствие из них.
- •17 Билет: взаимное расположение прямых в пространстве прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости.
- •18 Билет: взаимное расположение плоскостей. Признак параллельности.
- •19 Билет: перпендикулярность плоскостей. Признак перпендикулярности плоскостей
- •20 Билет: перпендикулярная и наклонная. Теорема и обратная о 3х перпендикулярах
- •21 Билет: двугранный угол. Угол между плоскостями
- •29 Билет: событие, его вероятность. Сложение, умножение вероятностей
- •30 Билет: дискретная случайная величина закон ее распределения. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
9 Билет: геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.
Уравнение Касательной Касательной к графику функции называется предельное положение секущей при стремлении точки М к точке М0 вдоль графика.
Геометрический смысл производной.
Пусть L – некоторая кривая, M0– точка на кривой L .
Любая прямая, пересекающая L не менее чем в двух точках называется секущей.
Касательной к кривой L в точке M0 называется предельное положение секущей, если точка стремится к, двигаясь по кривой.
Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная
Рассмотрим кривую y = f(x) (т.е. график функции y = f(x)). Пусть в точке он имеет невертикальную касательную . Ее уравнение: (уравнение прямой, проходящей через точкуи имеющую угловой коэффициент k).По определению углового коэффициента, где – угол наклона прямой к оси. Пусть – угол наклона секущейк оси, где . Так как – касательная, то при . Следовательно,
10 билет: производная суммы и производная частного
11 билет: производная основных элементарных функций
12 билет: производная тригонометрических функций
, , ,
, ,
13 билет: первообразная. неопределенный интеграл. его свойства
Первообразной функции f на промежутке I называется функция F, такая, что
Неопределенный интеграл где F - первообразная функции f (на промежутке); C - произвольная постоянная.
Основные свойства
-
-
-
Если то
-
14 билет: определенный интеграл, его свойства
Определенным интегралом функции y=f(x) заданной на отрезке [a;b] называется предел интегральной суммы сигма при лямде, стремящейся к 0, если этот предел существует и конечен.
Свойства определенного интеграла:
1)2)3)4)
5)
15 билет: геометрический смысл определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции
Пусть на отрезке [а; b] задана непрерывная функция у = ƒ(х) ≥ 0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = ƒ(х), снизу — осью Ох, сбоку — прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции. Для этого отрезок [а; b] точками а=х0, х1, ..., b=хn (х0<x1<...<xn) paзобьем на n частичных отрезков [хо;х1], [х1;х2],...,[хn-1;хn]. (см. рис. 168). В каждом частичном отрезке [xi-1;xi] (i=1,2,..., n) возьмем произвольную точку ci и вычислим значение функции в ней, т. е. ƒ(ci).Умножим значением функции ƒ(ci) на длину ∆xi=xi-xi-1 соответствующего частичного отрезка. Произведение ƒ(ci) • ∆xi равно площади прямоугольника с основанием ∆xi и высотой ƒ(ci). Сумма всех таких произведений равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции:
С уменьшением всех величин Δхi точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда n неограниченно возрастает так, что λ = max∆xi →0: Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.